Λύση

Αφού η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει έχουμε οτι $a_k \rightarrow 0$. Άρα υπάρχει $k_0$ ώστε για κάθε $k\geq k_0$ να ισχύει $0<a_k^2 <a_k <1$. Η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει, οπότε από το κριτήριο σύγκρισης συγκλίνει και η $\sum_{k=1}^\infty {a_k}^2$.

Για κάθε $k\in \mathbb N$ έχουμε $0<\frac{a_k}{1+a_k}<a_k$, και αφού η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει έπεται οτι και η $\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{1+a_k}$ συγκλίνει.

Το ίδιο ισχύει και με την τρίτη σειρά αφού $0<\frac{a_k^2}{1+a_k^2}<a_k^2$ και έχουμε δει οτι η $\sum_{k=1}^\infty {a_k}^2$ συγκλίνει.

Άσκηση 5 Υπόδειξη