Λύση

(α)    Έστω οτι η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{1+a_k}$ συγκλίνει. Τότε, $\frac{a_k}{1+a_k} \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{1}{1+a_k} =1- \frac{1}{1+a_k}\rightarrow 1 \Rightarrow 1+a_k \rightarrow 1 \Rightarrow a_k \rightarrow 0$. Άρα, υπάρχει $k_0 \in \mathbb N$ ώστε $0<a_k<\frac{1}{2}$ αν $k\geq k_0$. Έπεται οτι για $k\geq k_0\ ,\ 1+a_k <\frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{1+a_k}>\frac{2}{3} \Rightarrow a_k < \frac{3}{2} \frac{a_k}{1+a_k}$. Από το κριτήριο σύγκρισης, η $\sum ^\infty _{k=1} α_κ$ συγκλίνει, άτοπο. Άρα, η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{1+a_k}$ αποκλίνει.

(β)     Αφού $a_k >0, \ k \in \mathbb N$, η ακολουθία $\{ s_n\}$ των μερικών αθροισμάτων είναι αύξουσα: $s_{m+1} < \cdots <s_n$. Άρα, $\frac{a_{m+1}}{s_{m+1}} + \cdots + \frac{a_n}{s_n} > \frac{a_{m+1}}{s_n} + \cdo... ...n} = \frac{a_{m+1}+\cdots +a_n}{s_n} < \frac{s_n - s_m}{s_n} =1-\frac{s_m}{s_n}$.

Ας υποθέσουμε οτι η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{s_k}$ συγκλίνει. Από το κριτήριο του Cauchy, για $\varepsilon = \frac{1}{2}$ υπάρχει $n_0 \in \mathbb N$ ώστε αν $n>m\geq n_0$ τότε $\frac{a_{m+1}}{s_{m+1}} +\cdots + \frac{a_n}{s_n} < \frac{1}{2}$ δηλαδή $1-\frac{s_m}{s_n} < \frac{1}{2}\Rightarrow s_m > \frac{1}{2} s_n$. Κρατάμε κάποιο $m \geq n_0$ σταθερό και αφήνουμε το $n$ να πάει στο άπειρο. Αφού η $\sum ^\infty _{k=1} a_k$ αποκλίνει, έχουμε $s_n\rightarrow +\infty$ και $s_m >\frac{1}{2} s_n \ \forall n>m \Rightarrow s_m = +\infty$. Άτοπο. Άρα, η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{s_k}$ αποκλίνει.

(γ)    Είναι $s_{n-1} < s_n \Rightarrow \frac{1}{s_n ^2} < \frac{1}{s_n s_{n-1}} \Rightarrow ... ...-1}}{s^2_n} < \frac{s_n-s_{n-1}}{s_n s_{n-1}} =\frac{1}{s_{n-1}}-\frac{1}{s_n}$. Τότε, για το μερικό άθροισμα $t_n$ της $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{s^2_k}$ έχουμε:

$$t_n=\frac{a_1}{s_1^2}+\frac{a_2}{s_2^2} +\cdots +\frac{a_n}{s_n^2}$$

$$< \frac{1}{s_1} +\left( \frac{1}{s_1}-\frac{1}{s_2}\right) + ... ...ight) + \cdots +\left( \frac{1}{s_{n-1}} -\frac{1}{s_n} \right)$$

$$= \frac{2}{s_1}-\frac{1}{s_n} <\frac{2}{s_1}$$

Αφού η $t_n$ είναι φραγμένη, η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{a_k}{s^2_k}$ συγκλίνει.

Άσκηση 8 Υπόδειξη