Λύση

$\int_1^\infty \Bigm\vert \frac{\sin x}{x^p} \Bigm\vert\,dx \leq \int_1^\infty \frac1{x^p}\,dx =\frac{x^{-p+1}}{-p+1} \Bigm\vert _1^\infty .$ Αν $p>1$ τότε $\lim_{x\rightarrow\infty} x^{-p+1} =0$ άρα

$$\int_1^\infty \Bigm\vert \frac{\sin x}{x^p} \Bigm\vert\,dx \leq\left( 0-\frac1{-p+1} \right) =\frac1{p-1} .$$

Αν $0<p \leq 1$ τότε

$$\begin{eqnarray*} \int_1^N \frac{\sin x}{x^p} \,dx &=& \int_1^N \sin x\ x^{-p} \... ...cos N}{N^p} -\frac{-\cos 1}{1}-\int_1^N \frac{\cos x}{x^{p+1}} . \end{eqnarray*}$$

Άρα

$$\begin{eqnarray*} \lim_{N\rightarrow\infty} \int_1^N \frac{\sin x}{x^p} \,dx&=& ... ...x \right)\\ &=& (\cos 1)-\int_1^\infty \frac{\cos x}{x^{1+p}} . \end{eqnarray*}$$

Το $\int_1^\infty \frac{\cos x}{x^{1+p}}$ συγκλίνει αφού $\int_1^\infty \bigm\vert \frac{\cos x}{x^{1+p}} \bigm\vert\,dx\leq \int_1^\infty \frac1{x^{1+p}} =\frac1{p} .$

Άσκηση 1 Υπόδειξη