Λύση

(α)     $\int ^\prime _0 (\log x) \log (1+x)dx \leq \int ^\prime _0 x\log x dx$ αφού $\log (1+x) \varepsilon x\ \forall x>0$. Αλλά

$$\begin{eqnarray*} \int ^\prime _0 x \log x dx & =& \int ^\prime _0 \Bigl( \frac{... ...c{1}{x} dx \\ &=& -\frac{1}{2} \int ^\prime _0 x = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$$

$(\lim _{x\rightarrow 0} x\log x= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\log x}{\frac{1}{... ...}}{=} \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1/x}{1/x^2} = \lim _{x\rightarrow 0} (-x)=0)$

(β)     Θέτουμε $1-x=e ^{-1} \ dx=e^{-t}dt$

$$\begin{eqnarray*} \int ^\infty _0 \frac{\log (e^{-t} )}{\sqrt{e^{-t}}} e^{-t} dt... ...2}}dt \\ &=& e^{-\frac{t}{2}} \biggm\vert ^\infty _0 \\ &=& -1 \end{eqnarray*}$$

Άσκηση 4 Υπόδειξη