Λύση

Έστω $x\in A^{\prime}$. Για $\varepsilon = 1, \frac{1}{2}, \ldots , \frac{1}{n}, \ldots ,$ εφαρμόζουμε τον ορισμό και βρίσκουμε $x_n \in A \ \hbox{με}\ x_n \neq x \hbox{και} \vert x-x_n\vert <\frac{1}{n}$. Έστω $x-\frac{1}{n} <x_n <x +\frac{1}{n} \Rightarrow x_n \rightarrow x$. Αντίστροφα: Έστω οτι υπάρχουν $x_n \in A\ ,\ x_n\neq x$ με $x_n\rightarrow x$. Αν μας δώσουν $\varepsilon >0$, υπάρχει $n_0 \in N$ για κάθε $n \geq n_0$ να ισχύει $x_n \in N_x(\varepsilon )$. Αφού $x_n\neq x$, έπεται οτι $(N_x(\varepsilon )\setminus \{ x \} ) \cap A \neq \emptyset$. Αφού το $\varepsilon >0$ ήταν τυχόν, το $x$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A$.

Άσκηση 6 Υπόδειξη