Άσκηση 7

Ένας μετρικός χώρος $(X,\varrho)$ λέγεται διαχωρίσιμος αν υπάρχει υποσύνολό του $A$ με τις ιδιότητες: (α)    το $A$ έχει αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων και
(β)      $\overline{A}=X$ (δηλαδή το A είναι πυκνό στον $(X,\varrho)$). Αποδείξτε οτι το $(\beta)$ είναι ισοδύναμο με την
(β') οποιαδήποτε περιοχή $N _x(\varepsilon)$ οποιουδήποτε σημείου $x \in X$ περιέχει στοιχείο του $A$. Είναι ο $\mathbb R$ διαχωρίσιμος? Είναι ο $(\mathbb R ^n, \varrho)$ διαχωρίσιμος? (Υπόδειξη: Θεωρείστε το σύνολο $A$ των σημείων που όλες τους οι συντεταγμένες είναι ρητοί αριθμοί.) Υπόδειξη Λύση