Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 1   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $A:V\rightarrow V$ μια γραμμική απεικόνιση. Ένα στοιχείο $v$ του $V$ λέγεται ιδιοδιάνυσμα του $A$ αν υπάρχει αριθμός $\lambda$ τέτοιος ώστε $Av=\lambda v$. Aν το $v\neq 0$ τότε το $\lambda$ είναι μοναδικά προσδιορισμένο και λέγεται ιδιοτιμή του $Α$ που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα $v$. Λέμε πολλές φορές ότι το $v$ είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$.

Παράδειγμα Aν $A=\left(\begin{array}{ccc} a_1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \ldots & a_n \end{array}\right)$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας τότε κάθε διάνυσμα $e_i=\left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ a_i\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$, $i=1,\ldots,n$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του $Α$. Έχουμε $Ae_i=a_ie_i$.

Θεώρημα 1   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $A:V\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση. Έστω $\lambda \in K$ και $V_{\lambda }$ ο υπόχωρος του $V$ που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα του $A$ που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή $\lambda$. Tότε κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του $V_{\lambda }$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του $A$ με ιδιοτιμή $\lambda$. Ο υπόχωρος $V_{\lambda }$ λέγεται ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$.

Θεώρημα 2   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος και $A:V\rightarrow V$ μια γραμμική απεικόνιση. Έστω $v_1,\ldots ,v_m$ ιδιοδιανύσματα της $A$ με ιδιοτιμές $\lambda _1,\ldots ,\lambda _m$ αντίστοιχα. Αν οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή $\lambda _i\neq\lambda _j$ όταν $i\neq j$ τότε τα $v_1,\ldots ,v_m$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του $V$.

Ορισμός 2   Έστω $L:V\rightarrow V$ μια γραμμική απεικόνιση. Αν $\{v_1,\ldots, v_n\}$ είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου $V$ λέμε ότι η βάση αυτή διαγωνοποιεί την $L$ αν κάθε $v_i$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της $L$. Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας της $L$ ως προς αυτή την βάση είναι

$$A=\left(\begin{array}{cccc} c_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & c_2 &... ...ts & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & c_n \end{array}\right)$$

όπου $c_i$ είναι οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα $v_i$. Λέμε ότι η γραμμική απεικόνιση $L$ διαγωνοποιήται αν υπάρχει βάση του χώρου $V$ που να αποτελείται από ιδιοδιανύσματα.

Θεώρημα 3   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και $\lambda$ ένας αριθμός. Αν $A:V\rightarrow V$ μια γραμμική απεικόνιση τότε ο $\lambda$ είναι ιδιοτιμή της $A$ αν και μόνο αν ο πίνακας $A-\lambda I$ δεν είναι αντιστρέψιμος.

Ορισμός 3   Aν $A$ είναι ένας $n\times n$ πίνακας, ορίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $Α$, $p_A$ να είναι η ορίζουσα

$$p_A(t)=Det(tI-A)$$

$$p_A(t)=\left\vert\begin{array}{cccc} t-a_{11} & -a_{12} & \ld... ... -a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & t-a_{nn} \end{array}\right\vert.$$

Θεώρημα 4   Έστω $A$ ένας $n\times n$ πίνακας. Ένας αριθμός $\lambda$ είναι μια ιδιοτιμή του $A$ αν και μόνο αν το $\lambda$ είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Θεώρημα 5   Aν $Α$ είναι ένας $n\times n$ πίνακας με μιγαδικά στοιχεία. Τότε ο $A$ έχει ένα τουλάχιστον μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα και τουλάχιστον μια μιγαδική ιδιοτιμή.

Θεώρημα 6   Aν $A$ και $Β$ είναι δύο $n\times n$ πίνακες και ο $B$ είναι αντιστρέψιμος τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι ίσο με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $B^{-1}AB$. Mε άλλα λόγια, όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Θεώρημα 7 (Cayley - Hamilton)   Mιά γραμμική απεικόνιση $A:V\rightarrow V$ μηδενίζει το χαρακτηριστικό της πολυώνυμο.

Ορισμός 4   Έστω ένα πολυώνυμο $p_A$ που μηδενίζεται από την απεικόνιση $A:V\rightarrow V$ και έχει πρώτο συντελεστή την μονάδα. Αν κάθε άλλο πολυώνυμο που μηδενίζεται από την $A$ έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του $p_A$ τότε το $p_A$ λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο της $A$.

Θεώρημα 8   Tο ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης είναι μονοσήμαντα ορισμένο και διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της απεικόνισης.

Πρόταση 1   Tο χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης έχουν τις ίδιες ρίζες.