Λύση

Υποθέτουμε ότι η ιδιοτιμή $\lambda$ αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα $v$. Aπό τον ορισμό ξέρουμε ότι $L(v)=\lambda v$. Άρα, $L^2(v)=L(L(v))=\lambda (L(v))=\lambda ^2v$ και γενικά $L^k(v)=\lambda ^kv$ για κάθε $k=1,\ldots , n$. Επομένως, αν $p(x)=a_mx^m+\ldots +a_1x+a_0$ τότε $(p(L))(v)=(a_mL^m+\ldots +a_1L+a_01_V)(v) =(a_m\lambda ^m+\ldots +a_1\lambda +a_0)v=p(\lambda )v$ το οποίο σημαίνει ότι το $p(\lambda )$ είναι μια ιδιοτιμή του $p(L)$.