Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το $\vert tI-A\vert= \left(\begin{array}{cc} t-1 & -3\\ -2 & t+4 \end{array}\right)= t^2+3t-10=(t+5)(t-2).$ Άρα οι ιδιοτιμές του $A$ είναι $-5$ και $2$. Για την ιδιοτιμή $-5$ έχω $\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 2 & -4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)= -5 \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$ το οποίο δίνει το σύστημα $\begin{array}{cc} 6x + 3y =0\\ 2x + y =0 \end{array}$ το οποίο καταλήγει στην εξίσωση $2x+y=0$. Άρα το $v_1=(1,-2)$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $-5$. Όμοια για την ιδιοτιμή -2 παίρνω το σύστημα $\begin{array}{cc} -x+3y=0\\ 2x-6y=0 \end{array}$ το οποίο είναι ισοδύναμο με την εξίσωση $x-3y=0$. Άρα το $v_2=(1,3)$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $2$. Άρα το σύνολο $\{ v_1,v_2\}$ είναι ένα σύνολο από ιδιοδιανύσματα τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και άρα απότελούν βάση του $\mathbb R^2$. Άρα ο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος και ο ζητούμενος πίνακας $P$ ;έχει στήλες τα $v_1,v_2$, δηλαδή $P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -2 & 1 \end{array}\right)$. Εύκολα βλέπει κανείς ότι $P^{-1}AP= \left(\begin{array}{cc} -5 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)$.