next up previous
Next: Άσκηση 17 Up: Άσκηση 16 Previous: Υπόδειξη

Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι το $\vert tI-A\vert=
\left\vert\begin{array}{cc}
t & 2\\
-1 & t-3
\end{array}\right\vert=t(t-3)+2=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$ και άρα από γνωστό θεώρημα ο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος. Για την ιδιοτιμή 1 έχω $\left(\begin{array}{cc}
0 & -2\\
1 & 3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=
1\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)$. Το παραπάνω σύστημα έχει μια ελεύθερη μεταβλητή και άρα το $v_1=(-2,1)$ είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $1$.

Όμοια για την ιδιοτιμή $2$ έχω $\left(\begin{array}{cc}
0 & -2\\
1 & 3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=
2\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)$. Το παραπάνω σύστημα έχει μια ελεύθερη μεταβλητή και εύκολα βλέπουμε ότι το $v_2=(1,-1)$ είναι μια βάση του ιδιοχώρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 2. Έτσι $A=P^{-1}CP=
\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1\\
-1 & -2
\end{array}\right)
\left...
...
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
-2 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)$. Eύκολα βλέπει κανείς χρησιμοποιώντας επαγωγή ότι $A^n=P^{-1}C^nP=
\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1\\
-1 & -2
\end{array}\right)
\...
...eft(\begin{array}{cc}
2-2^n & 2^n-1\\
2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1
\end{array}\right)$ για κάθε $n\in \mathbb Z^+$. Αντικαθιστώντας το $n$ με $\frac{1}{2}$ παίρνω $B=\left(\begin{array}{cc}
2-\sqrt{2} & -1+\sqrt{2}\\
2-2\sqrt{2} & -1+2\sqrt{2}
\end{array}\right).$



Vassilis Metaftsis
1999-09-15