Λύση

To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι το $\vert tI-A\vert=\left\vert\begin{array}{ccc} t-3 & -a & -b\\ 0 & t-3 & -c\\ 0 & 0 & t+2 \end{array}\right\vert=(t+2)(t-3)^2$. Για να είναι ο $A$ διαγωνοποιήσιμος θα πρέπει το ελάχιστο πολυώνυμο του να γράφετε σαν γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβάθμιων παραγόντων, δηλαδή $(t+2)(t-3)$. Όμως σύμφωνα με το Θεώρημα Cayley - Hamilton πρέπει $(Α+2Ι)(Α-3Ι)=0$. Πιο συγκεκριμένα, $\left(\begin{array}{ccc} 5 & a & b\\ 0 & 5 & c\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)... ...left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right).$ Eπομένως, $5a=0$ και $ac=0$. Άρα $a=0$ είναι η ζητούμενη συνθήκη.