Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 6   Ένας πίνακας καλείται άνω τριγωνικός (κάτω τριγωνικός) αν τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω (πάνω) από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά.

Πρόταση 4   Oι ιδιοτιμές ενός τριγωνικού πίνακα είναι ακριβώς τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου. Το χαρακτηριστικό, όπως και το ελάχιστο πολυώνυμο, είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

Ορισμός 7   Mια γραμμική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας ως προς μια βάση είναι τριγωνικός λέγεται τριγωνοποιήσιμη. Ένας πίνακας λέγεται τριγωνοποιήσιμος αν είναι όμοιος με έναν τριγωνικό πίνακα.

Θεώρημα 13   Mια γραμμική απεικόνιση είναι τριγωνοποιήσιμη αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

Θεώρημα 14 (Πρωταρχικής Ανάλυσης)   Έστω $L$ μια γραμμική απεικόνιση με $L\in {\cal L}(V,V)$ και $p(x)=p_1(x)^{r_1}\ldots p_k(x)^{r_k}$ η ανάλυση του ελαχίστου πολυωνύμου όπου $p_i(x)$ διακεκριμένα πολυώνυμα. Έστω επίσης $V_i=Ker(p_i(L)^{r_i})$ $i=1,2,\ldots ,k$. Tότε

.

$V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k$

.

Κάθε $V_i$ είναι αναλλοίωτος ως προς $L$.

.

Αν $L_i$ είναι ο περιορισμός της $L$ στο $V_i$ τότε το ελάχιστο πολυώνυμο της $L_i$ είναι το $p_i(x)^{r_i}$.

Πόρισμα 2   Αν $A$ είναι ένας $n\times n$ πίνακας με στοιχεία στο σώμα $K$ και $p(x)=p_1(x)^{r_1}\ldots p_k(x)^{r_k}$ η ανάλυση του ελαχίστου πολυωνύμου, όπου τα $p_i(x)$ είναι πολυώνυμα ανάγωγα στο $K$ τότε ο $A$ είναι όμοιος με ένα πίνακα της μορφής

$$\left(\begin{array}{cccc} A_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & A_2 & \... ...ts & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & A_k \end{array}\right)$$

όπου ο πίνακας $A_i$ έχει στοιχεία στο $K$ και ο $A_i$ έχει ελάχιστο πολυώνυμο το $p_i(x)^{r_i}$.