Λύση

Έστω $v=(x_1,y_1,z_1), u=(x_2,y_2,z_2)\in \mathbb R^3$. Τότε

$$F(v+u)=F(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=(x_1+x_2,y_1,y_2,0).$$

Από την άλλη

$$F(v)+F(u)=(x_1,y_1,0)+(x_2,y_2,0)=(x_1+x_2,y_1+y_2,0)=F(u+v).$$

Aν τώρα $k\in\mathbb R$ τότε

$$F(kv)=F(kx_1,ky_1,kz_1)=(kx_1,ky_1,0)=k(x_1,y_1,0)= kF(x_1,y_1,z_1).$$

Άρα $F$ γραμμική απεικόνιση.