Λύση

Έστω $x_1,\ldots ,x_n$ στοιχεία του $K$ τέτοια ώστε $x_1v_1+\ldots +x_nv_n={\bf0}$. Tότε $F(x_1v_1+\ldots+x_nv_n)=F({\bf0})$. Λόγω της γραμμικότητας της $F$ η παραπάνω εξίσωση γίνεται $x_1F(v_1)+\ldots +x_nF(v_n)={\bf0}$ ή ισοδύναμα $x_1w_1+\ldots+x_nw_n={\bf0}$. Aλλά τα $w_1,\ldots ,w_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα η τελευταία εξίσωση συνεπαγεται ότι $x_1=\ldots=x_n=0$. Άρα τα $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.