Λύση

Έστω $u\in {\rm Im}F$. Τότε υπάρχει $v\in V$ ώστε $F(v)=u$. Αλλά τα $v_1,\ldots ,v_n$ παράγουν τον $V$ άρα υπαρχουν στοιχεία του $K$, έστω $x_1,\ldots ,x_n$ ώστε $v=x_1v_1+\ldots+x_nv_n$. Κατα συνέπεια,

$$u=F(v)=F(x_1v_1+\ldots+x_nv_n)=x_1F(v_1)+\ldots+x_nF(v_n).$$

Άρα, ο Im$F$ παράγεται από τα $F(v_1),\ldots , F(v_n)$.