next up previous
Next: Άσκηση 46 Up: Άσκηση 45 Previous: Υπόδειξη

Λύση

Αφού η $F$ είναι μηδενοδύναμη, η $F^n=0$. Άρα ισχύει η ταυτότητα

\begin{displaymath}(F+I)((-1)^{n-1}F^{n-1}+(-1)^{n-2}F^{n-2}+\ldots
-F+I)=F^n+I=Ι.\end{displaymath}

Oι απεικονίσεις

\begin{displaymath}F_1=F+I\end{displaymath}

και

\begin{displaymath}F_2=(-1)^{n-1}F^{n-1}+(-1)^{n-2}F^{n-2}+\ldots -F+I\end{displaymath}

είναι γραμμικές, σαν σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων. Η παραπάνω εξίσωση γίνεται $F_1\circ F_2=I$ και ξέρω ότι η $I$ είναι 1-1 και επί. Άρα και η $F_1\circ F_2$ είναι 1-1 και επί άρα η $F_1$ είναι 1-1 και η $F_2$ είναι επί. Όμως και οι δύο απεικονίσεις $F_1$ και $F_2$ είναι ορισμένες από το $V$ στο $V$ και άρα είναι 1-1 και επί.



Vassilis Metaftsis
1999-09-15