Λύση

Υποθέτω ότι $A=(a_{ij})$ και $B=(b_{ij})$. Τότε $AB=(c_{ik})$ όπου $c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$. Άρα

$$tr(AB)=\sum_{i=1}^nc_{ii}=\sum_{i=1}^{j}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}.$$

Όμοια, $BA=(d_{jk})$ όπου $d_{jk}=\sum_{i=1}^nb_{ji}a_{ik}.$ Άρα,

$$tr(BA)=\sum_{j=1}^nd_{jj}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^nb_{ji}a_{ij}= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}=tr(AB).$$