Λύση

Έστω $x,y,z\in \mathbb R$ με $v=xa_1+ya_2+za_3$. Τότε έχουμε $(1,-2,5)=x(1,1,1)+y(1,2,3)+z(2,-1,1)=(x,x,x)+(y,2y,3y)+(2z,-z,z)= (x+y+2z,x+2y-z,x+3y+z)$. To σύστημα που προκύπτει είναι

$$\begin{array}{ccccccc} x & + & y & + & 2z & = & 1\\ x & + & 2y & - & z & = & -2\\ x & + & 3y & + & z & = & 5 \end{array}$$

το οποίο αν λυθεί δίνει $x=-6$, $y=3$ και $z=2$. Άρα $v=-6a_1+3a_2+2a_3$.