next up previous
Next: Άσκηση 23 Up: Άσκηση 22 Previous: Υπόδειξη

Λύση

Από την προηγούμενη άσκηση έχουμε ότι

\begin{displaymath}{\rm dim}(U+W)={\rm
dim}U+{\rm dim}W\end{displaymath}

αν και μόνο αν ${\rm dim}(U\cap W)=0$ δηλαδή αν και μόνο αν $W\cap U=0$.

Γενικότερα, αν το άθροισμα είναι ευθύ τότε με πολλαπλή εφαρμογή του συμπεράσματος για δύο υπόχωρους παίρνουμε

\begin{displaymath}{\rm dim}((V_1+\ldots+V_{n-1})+V_n)={\rm dim}(V_1+\ldots +V_{n-1})+
{\rm dim}V_n=\ldots\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\rm dim}V_1+\ldots +{\rm dim}V_n.\end{displaymath}

Αντίστροφα, θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Για $n=1$ δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε. Υποθέτω ότι ισχύει για $n-1$, δηλαδή αν

\begin{displaymath}{\rm dim}(V_1+\ldots+V_{n-1}) ={\rm dim}V_1\ldots +{\rm
dim}V_{n-1}\end{displaymath}

τότε το άθροισμα είναι ευθύ. Υποθέτω ότι $V=V_1+\ldots +V_n$ με

\begin{displaymath}{\rm dim}V_1+\ldots+{\rm dim}V_n= {\rm
dim}(V_1 +\ldots + V_n).\end{displaymath}

Tότε από το αποτέλεσμα του πρώτου μέρους της άσκησης,

\begin{displaymath}{\rm dim}((V_1+\ldots+V_{n-1})\cap V_n)=0.\end{displaymath}

To αποτέλεσμα προκύπτει από την υπόθεση της επαγωγής.



Vassilis Metaftsis
1999-09-15