Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 14   Έστω $K$ σώμα. Μια διάταξη των στοιχείων του $K$ της μορφής

$$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}... ... &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right)$$

λέγεται πίνακας με $m$ γραμμές και $n$ στήλες ή ένας $m\times n$ πίνακας. Αν $A_i=(a_{i1},\ldots ,a_{in})$ για κάθε $i=1,\ldots ,m$ είναι οι γραμμές του πίνακα και τα $A^j=\left(\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{array}\right)$ για κάθε $j=1,\ldots ,n$ είναι οι στήλες του πίνακα. O $Α$ συμβολίζεται και σαν $A=(a_{ij})$.

Ορισμός 15   Αν $A=(a_{ij})$ ένας $m\times n$ πίνακας, ονομάζουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών του $A$ τις παρακάτω πράξεις που εφαρμόζονται στις γραμμές του $A$:

.

Για κάποιο $a\in K$ πολλαπλασιάζουμε την $i$-γραμμή του $A$ με $a$ $(i=1,\ldots ,m)$.

.

Προσθέτουμε την $j$-γραμμή του $A$ στην $i$-γραμμή του $A$ ($1\le i,j\le m$, $i\neq j$).

.

Εναλλάσσουμε την $i$-γραμμή με την $j$-γραμμή $(1\le i,j\le m)$.

Oι παραπάνω τρείς πράξεις συμβολίζονται με τον εξής τρόπο:

.

$R_i\rightarrow aR_i$

.

$R_i\rightarrow R_i+R_j$

.

$R_i \leftrightarrow R_j$

Ορισμός 16   Αν $A$ και $B$ δύο $m\times n$ πίνακες, λέμε ότι ο $B$ είναι γραμμοϊσοδύναμος του $A$ αν ο $B$ μπορεί να προκύψει από τον $A$ εφαρμόζοντας μια πεπερασμένη ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών.

Παράδειγμα: O πίνακας $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)$ είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον πίνακα $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -5\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$ εφόσον

$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1 \... ...y}{ccc} 0 & 0 & -5\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right).$$

Ορισμός 17   Ένας $m\times n$ πίνακας $A$ λέγεται κλιμακωτός πίνακας αν

.

το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο σε κάθε μη-μηδενική γραμμή είναι 1.

.

το πρώτο (ηγετικό) 1 σε κάθε μη-μηδενική γραμμή βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού 1 κάθε προηγούμενης γραμμής.

.

οι μη-μηδενικές γραμμές εμφανίζονται πριν τις μηδενικές γραμμές του πίνακα.

Ένας κλιμακωτός πίνακας λέγεται αναγμένος αν το ηγετικό 1 σε κάθε μη-μηδενική γραμμή είναι το μόνο μη-μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.

Θεώρημα 12   Κάθε μη-μηδενικός πίνακας είναι γραμμοϊσοδύναμος με έναν αναγμένο κλιμακωτό πίνακα.

Ορισμός 18   Ένα σύστημα της παρακάτω μορφής

$$\begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \ld... ...& + & a_{m2}x_2 & + & \ldots & a_{mn}x_n & = & b_n \end{array}$$

με $a_{ij},b_i \in K$ λέγεται σύστημα $m$ γραμμικών εξισώσεων με $n$ αγνώστους στο σώμα $K$. O πίνακας

$$A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n... ...vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right)$$

λέγεται πίνακας του συστήματος και το σύστημα συμβολίζεται $A{\bf x}={\bf b}$ όπου ${\bf x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ {\bf x}_n\end{array}\right)$ και ${\bf b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right).$ To σύστημα $A{\bf x}=0$ αποκαλείται το ομογενές σύστημα που αντιστοιχεί στον πίνακα $A$. O πίνακας

$$A=\left(\begin{array}{cccc\vert c} a_{11} & a_{12} & \ldots ... ...\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)$$

λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος.

Θεώρημα 13   Έστω ένα γραμμικό σύστημα $A{\bf x}={\bf b}$ και $(A\vert{\bf b})$ ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος. Αν $(A'\vert{\bf b}')$ ο πίνακας που προκύπττει από τον $(A\vert{\bf b})$ εφαρμόζοντας ένα στοιχειώδη μετασχηματισμό γραμμών τότε τα συστήματα $A{\bf x}={\bf b}$ και $A'{\bf x}={\bf b}'$ είναι ισοδύναμα.

Πόρισμα 3   Ένα σύστημα της μορφής $A{\bf x}={\bf b}$ μπορεί να λυθεί αν βρούμε την αναγμένη μορφή του επαυξημένου πίνακα του συστήματος. Η παραπάνω μέθοδος λύσης λέγεται απαλοιφή του Gauss.

Θεώρημα 14   Έστω $K$ ένα σώμα και $M_{m\times n}(K)$ το σύνολο των $m\times n$ πινάκων με στοιχεία στο $K$. Τότε το $M_{m\times n}(K)$ είναι ένας διανυσματικός χώρος στο $K$.

Ορισμός 19   Αν $A=(a_{ij})$ ένας $m\times n$ πίνακας τότε ο πίνακας $A^t=(a_{ji})$ λέγεται ανάστροφος του $A$.

Ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν $m=n$.

Άν $A=A^t$ τότε ο $A$ λέγεται συμμετρικός. Ένας συμμετρικός πίνακας είναι τετραγωνικός.

Ο πίνακας $I_n=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right)$ λέγεται μοναδιαίος $n\times n$ πίνακας.

Ένας πίνακας $A$ λέγεται μηδενοδύναμος αν υπάρχει ακέραιος $k$ ώστε $A^k=0$.

Θεώρημα 15   Έστω $A{\bf x}={\bf b}$ ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με $A$ έναν τετραγωνικό πίνακα διάστασης $n$. Aν τα διανύσματα $A^1, \ldots, A^n\in M_{n\times 1}(K)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση στο $K$.

Ορισμός 20   Ένας $n\times n$ πίνακας λέγεται στοιχειώδης πίνακας αν μπορεί να προκύψει από τον $I_n$ εφαρμόζοντας ένα στοιχειώδη μετασχηματισμό γραμμών.

Θεώρημα 16   Ένας $n\times n$ πίνακας $A$ είναι είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι το γινόμενο στοιχειωδών πινάκων.

Πόρισμα 4   Aν $A$ αντιστρέψιμος πίνακας τότε ο $A^{-1}$ ορίζεται εφαρμόζοντας τους ίδιους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών στον $I_n$ που εφαρμόζουμε στον $A$ για να πάρουμε τον $I_n$.