next up previous
Next: Άσκηση 31 Up: Άσκηση 30 Previous: Υπόδειξη

Λύση

O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο πίνακας

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & -3 & -2 & 4 & 1\\
2 & ...
...-8 & -1 & 6 & 4\\
1 & 4 & -7 & 5 & 2 & 8
\end{array}\right).\end{displaymath}

Με οδηγό στοιχείο το 1 της θέσης 11 και τους μετασχηματισμούς $R_2\rightarrow R_2-2R_1$ και $R_3\rightarrow R_3-R_1$ παίρνω τον ισοδύναμο πίνακα

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & -3 & -2 & 4 & 1\\
0 & ...
...2 & 3 & -2 & 2\\
0 & 2 & -4 & 7 & -2 & 7
\end{array}\right).\end{displaymath}

Χρησιμοποιώντας το 1 της θέσης 22 και τον μετασχηματισμό $R_3\rightarrow R_3-2R_2$ έχω τον πίνακα

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & -3
& -2 & 4 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right).\end{displaymath}

O τελευταίος αυτός πίνακας δεν είναι η αναγμένη μορφή του αρχικού μιας και στις στήλες των ηγετικών 1 υπάρχουν μη-μηδενικά στοιχεία. Για να πάρω την αναγμένη μορφή χρησιμοποιώ με την σειρά τους μετασχηματισμούς $R2\rightarrow R_2-3R_3$, $R1\rightarrow R_1+2R_3$ και $R_1\rightarrow R_1-2R_2$ και έχω

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 24 & 21\\
0 & ...
...-2 & 0 & -8 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right).\end{displaymath}

To σύστημα στο οποίο αναγώμαστε είναι το

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccc}
x &+& & & z &+& 24t &=& 21\\
& & y &-& 2z &-& 8t &=& -7\\
& & & & s &+& 2t &=& 3
\end{array}\end{displaymath}

από το οποίο παίρνουμε τις λύσεις $x=21-z+24t$, $y=-7+2z+8t$ και $s=3-2t$.



Vassilis Metaftsis
1999-09-15