Λύση Άσκησης 35

Έστω A το ενδεχόμενο η εκτίμηση του π να πέσει στο διάστημα [3.14, 3.15]. Αυτό συμβαίνει τότε και μόνον τότε, όταν ο αριθμός τομών Μ στις n ρίψεις είναι στο διάστημα από m1= 3175 έως m2= 3184. Η πιθανότητα επιτυχίας, δηλαδή τομής της βελόνας με παράλληλο, ισούται με p= και αποτυχίας με . Καθώς τα np και nq είναι μεγάλα και μας ενδιαφέρει η πιθανότητα να βρεθεί το Μ στο διάστημα [m1, m2], θα εφαρμόσουμε το ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace με και . Από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής βρίσκουμε Φ(x1)= -0.06749 και Φ(x2)= 0.00798, που δίνει:

P[3175 M 3184] = Φ(x2)- Φ(x1)= 0.07547.

Βλέπουμε δηλαδή ότι η πιθανότητα είναι αρκετά μικρή, που σημαίνει ότι οι 10.000 ρίψεις βελόνας δεν είναι αρκετές για να προσδιορίσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού το π.

 

Εκφώνηση άσκησης

Υπόδειξη άσκησης

 

Περιεχόμενα