Λύση Άσκησης 54

M

0

1

PΜ1

0

q2

qp

q

1

qp

P2

P

PΜ2

q

p

1

 

Πίνακας 1

 

Εάν ο αριθμός επιτυχιών στις δύο δοκιμές είναι 0 τότε έχουμε δύο αποτυχίες και αυτό λόγω της ανεξαρτησίας των δοκιμών συμβαίνει με πιθανότητα q2. Άρα και εκεί που συναντάει η στήλη «0» τη γραμμή «0» στον πίνακα 1 γράφουμε q2. Εάν Μ1 = 1 και Μ2= 0 στην πρώτη δοκιμή συνέβη επιτυχία και στη δεύτερη αποτυχία, δηλαδή . Παρομοίως υπολογίζονται και οι άλλες πιθανότητες. Τέλος στη στήλη «PΜ1» και στο ύψος της γραμμής «0» βάζουμε την πιθανότητα P[Μ1=0]= q2+qp= q(q+p)= q, και στη γραμμή «1» P[Μ2=1]= p2+qp= p(q+p)= p. Παρομοίως για την γραμμή «PΜ2» βρίσκουμε P[Μ2=0]= q και P[Μ1=1]= p. Ελέγχουμε αν έγινε σωστά ο πίνακας. Προσθέτουμε τις πιθανότητες της τελευταίας στήλης και βρίσκουμε q+p=1, το ίδιο κάνουμε και με τις πιθανότητες της τελευταίας γραμμής και βρίσκουμε το ίδιο. Επομένως η δοκιμή έδωσε θετικό αποτέλεσμα.

Τώρα κατασκευάζουμε την από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x1,x2)= , των τυχαίων μεταβλητών Μ1, Μ2. Για x1<0 και x2<0 δεν υπάρχει κανένα στοιχειώδες ενδεχόμενο ω, για το οποίο ή και έτσι το ενδεχόμενο είναι αδύνατο, άρα F(x1,x2)=0, για x1<0 και x2<0.

Εάν και , τότε το ενδεχόμενο ισοδυναμεί με το , που όπως φαίνεται από τον πίνακα 1 συμβαίνει με πιθανότητα q2 και F(x1,x2)= q2 . Εάν και , τότε το είναι η ένωση των ξένων ενδεχομένων και , δηλαδή F(x1,x2)= q2 +qp = q. Παρομοίως εάν και , F(x1,x2)= q2 +qp = q. Τέλος εάν και , το ενδεχόμενο είναι το βέβαιο, και επομένως F(x1,x2)= 1.

Η δισδιάστατη συνάρτηση κατανομής F(x1,x2) παριστάνεται στο σχήμα 10

 

 

Σχήμα 10

Εκφώνηση άσκησης

 

Περιεχόμενα