Κλασική και Γεωμετρική Πιθανότητα

Έστω Ω ο χώρος των στοιχειωδών ενδεχομένων, που τον ονομάζουμε δειγματικό χώρο. Ενδεχόμενο Α ονομάζεται οποιοδήποτε στοιχείο μιας κλάσης υποσυνόλων του Ω, που σχηματίζουν σ- άλγεβρα και την συμβολίζουμε με Β. Πιθανότητα P(A) ονομάζεται μια συνάρτηση που ορίζεται πάνω στην σ- άλγεβρα Β και παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Η τριάδα (Ω, Β, Ρ) ονομάζεται πιθανοθεωρητικός χώρος.

Όταν ο δειγματικός χώρος Ω περιέχει πεπερασμένο πλήθος ισοπίθανων στοιχειωδών ενδεχομένων έχουμε το κλασικό σχήμα πιθανοτήτων. Εάν n είναι ο αριθμός των δυνατών στοιχειωδών ενδεχομένων και m ο αριθμός των ευνοϊκών για το ενδεχόμενο Α, τότε

Ρ(Α) = .

Έστω κ ομάδες αντικειμένων, όπου η i ομάδα αποτελείται από ni αντικείμενα. Διαλέγουμε ένα αντικείμενο από κάθε ομάδα. Τότε ο συνολικός αριθμός Ν των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει η διαλογή δίνεται από την σχέση:

Ν= n1· n2··· nκ

Το πλήθος των μεταθέσεων n αντικειμένων δίνεται από τον τύπο:

Pn = n!

Το πλήθος των διατάξεων m αντικειμένων από n δίνεται από τον τύπο:

(n)m =n(n-1)···(n-m+1) =

Το πλήθος των συνδυασμών m αντικειμένων από n δίνεται από τον τύπο:

= =

Έστω n= n1+n2+…+nk διαφορετικά αντικείμενα, με n1 από αυτά πρώτου τύπου,…, nk από αυτά κ- τύπου. Επιλέγω τυχαία m= m1+ m2+…+ mk αντικείμενα. Η πιθανότητα να βγάλω m2 (n2) του δευτέρου τύπου,…, mk ( nk) του κ- τύπου, δίνει την υπεργεωμετρική κατανομή με τον τύπο:

P(A)= P(m1, …, mk)=

 

Έστω ο δειγματικός χώρος παριστά κάποια περιοχή Ω με μέτρο μ(Ω), όπως μήκος, εμβαδόν, όγκος, κ.τ.λ. (0<μ(Ω)<). Λέμε ότι ένα σημείο πέφτει ομοιόμορφα στην περιοχή Ω εάν η πιθανότητα να βρεθεί σε κάποια περιοχή Α, υποπεριοχή του Ω, είναι ανάλογη του μέτρου μ(Α):

P(A)=.

 

 

 

Ασκήσεις

Άσκηση 1

Βρείτε την πιθανότητα σε ρίψη ζαριού να εμφανισθεί άρτιο αποτέλεσμα.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 2

Ρίπτουμε τρεις φορές ένα νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανισθεί “Γράμματα” τουλάχιστον μία φορά.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 3

Βρείτε την πιθανότητα κατά την ρίψη δύο ζαριών να έρθει άθροισμα μεγαλύτερο ή ίσο του 4.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 4

Από τράπουλα με 36 χαρτιά (από 6 και πάνω) τραβάω τυχαία ένα χαρτί. Βρείτε την πιθανότητα να είναι άσσος.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 5

Σε τέσσερις κάρτες είναι γραμμένα τα γράμματα “Ν”, “Ρ”, “Ε”, “Ο”. Οι κάρτες ανακατεύονται και μετά τοποθετούνται στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα να σχηματισθεί η λέξη “ΝΕΡΟ”.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 6

Από τράπουλα με 36 χαρτιά (από 6 και πάνω) βγάζω τυχαία 3. Βρείτε την πιθανότητα τα τρία χαρτιά να είναι του ιδίου χρώματος.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 7

Βρείτε την πιθανότητα στο Λόττο, με 6 επιλογές από 49 αριθμούς, να πετύχουμε 3 νούμερα ( ενδεχόμενο Α3), 4 νούμερα (ενδεχόμενο Α4), 5 νούμερα (ενδεχόμενο Α5), 6 νούμερα (ενδεχόμενο Α6).

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 8

Έστω n όμοια αντικείμενα τοποθετούνται σε m κελιά. Διαφορετικές τοποθετήσεις θεωρούνται αυτές με διαφορετικό αριθμό αντικειμένων σε κάθε κελί. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθούν σε συγκεκριμένο κελί κ αντικείμενα.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 9

Έστω n όμοια αντικείμενα τοποθετούνται σε m κελιά με mn και κάθε κελί χωράει μόνο ένα αντικείμενο. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθούν κατειλημμένα κ συγκεκριμένα κελιά (κn).

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 10

Ομάδα τεσσάρων σωματιδίων πέφτει πάνω σε τρεις ανιχνευτές. Κάθε σωματίδιο έχει την ίδια πιθανότητα να πέσει σε έναν και μόνο έναν από τους τρεις ανιχνευτές. Βρείτε την πιθανότητα να καταγραφεί πτώση σωματιδίου σε δύο τουλάχιστον ανιχνευτές.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 11

Σε κύκλο ακτίνας R=1 ρίχνουμε τυχαία ένα σημείο. Να βρεθεί η πιθανότητα να βρεθεί το σημείο πάνω σε κύκλο με ακτίνα r = ½, με το ίδιο κέντρο.

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 12

Στη Γη πέφτουν παράλληλα με τον ισημερινό βροχή μετεωριτών. Βρείτε την πιθανότητα ένας μετεωρίτης να πέσει στο διάστημα μεταξύ 15 και 45 βόρειου γεωγραφικού παράλληλου.

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 13

Έστω ότι η εμφάνιση σε δέκτη καθενός από τα 2 σήματα που εκπέμπονται είναι εξίσου δυνατή σε οποιαδήποτε στιγμή κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος μήκους Τ. Βρείτε την πιθανότητα το χρονικό διάστημα μεταξύ των εμφανίσεων των 2 σημάτων να είναι μικρότερο του τ, (τ<Τ).

Λύση άσκησης

 

Άσκηση 14

Έστω επίπεδο με παράλληλες ευθείες με απόσταση μεταξύ τους 2α. Στο επίπεδο ρίχνουμε τυχαία βελόνα μήκους 2l (l<α). Βρείτε την πιθανότητα η βελόνα να τέμνει ευθεία του επιπέδου (βλ. σχήμα 5).

 Σχήμα 5

Υπόδειξη άσκησης

Λύση άσκησης

 

 

Περιεχόμενα