Σχήμα Bernoulli

Έστω ακολουθία ανεξάρτητων όμοιων δοκιμών τυχαίου πειράματος με δύο αποτελέσματα: Ε όταν έχω επιτυχία και Α όταν έχω αποτυχία. Θεωρώ p την πιθανότητα επιτυχίας και q= 1- p την πιθανότητα αποτυχίας. Έτσι λόγω την ανεξαρτησίας των δοκιμών εάν στις n επαναλήψεις οι m είναι επιτυχείς και οι υπόλοιπες n-m αποτυχημένες, η πιθανότητα που δίνεται σ’ αυτό το αποτέλεσμα είναι p^mq^n-m . Αυτό το σχήμα τυχαίου πειράματος ονομάζεται Bernoulli.

Έστω τώρα Ρ_n(m) η πιθανότητα σε n δοκιμές Βernoulli να εμφανιστούν m επιτυχίες. Αυτή η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο Bernoulli:

Θεώρημα Poisson

Έστω ότι ο αριθμός δοκιμών n στο σχήμα Bernoulli γίνεται «μεγάλος» και η πιθανότητα επιτυχίας p γίνεται «μικρή», έτσι ώστε το γινόμενό τους np=λ να μην γίνεται πολύ μεγάλο, τότε η πιθανότητα Ρ_n(m) δίνεται από τον προσεγγιστικό τύπο Poisson:

, m= 0, 1,…, n

Εάν ο αριθμός δοκιμών n σε σχήμα Bernoulli γίνεται «μεγάλος», τότε για κάθε m ακέραιο ισχύει ο προσεγγιστικός τύπος Moivre- Laplace:

, με .

Η συνάρτηση φ(x) ονομάζεται πυκνότητα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Λόγω αρτιότητας της φ έχουμε φ(x)= φ(-x).

Εάν ο αριθμός δοκιμών n σε σχήμα Bernoulli γίνεται «μεγάλος», τότε η πιθανότητα ο αριθμός επιτυχιών Μ να περικλείεται μεταξύ m₁ και m₂ , δίνεται από την προσεγγιστική σχέση:

, όπου , , .

Εάν σε κάθε ανεξάρτητα δοκιμή του τυχαίου πειράματος το αποτέλεσμα δεν παίρνει μόνο δύο τιμές αλλά m (>2), τότε παίρνουμε το πολυωνιμικό σχήμα με πιθανότητα :

,

όπου n₁+…+n_m= n και p_i είναι η πιθανότητα εμφάνισης του i αποτελέσματος, i= 1,…, m και n_i είναι ο αριθμός εμφανίσεων του i αποτελέσματος στις n δοκιμές.

Σε σφαίρα ακτίνας R βρίσκονται m μόρια ιδανικού αερίου. Βρείτε την πιθανότητα, ακριβώς m από αυτά να βρίσκονται σε απόσταση λιγότερη του r = λR από το κέντρο της σφαίρας.

Άσκηση 32

Καταμετρητής καταγράφει σωματίδιο που πέφτει πάνω του με πιθανότητα p=0.9. Βρείτε την πιθανότητα να καταγράψει m σωματίδια, m=1,…, 10, εάν δίνεται ότι έπεσαν πάνω του 10 σωματίδια.

Κάνουμε 10 ρίψεις νομίσματος. Βρείτε την πιθανότητα m εμφανίσεων «Γράμματα», m=1,…,10.

Για τον προσδιορισμό του π με τυχαία πειράματα διεξάγονται n= 10.000 ρίψεις βελόνας μήκους l= (βλ. άσκηση14). Η τιμή του π ορίζεται από τον τύπο π =, όπου Μ ο αριθμός των ρίψεων στις οποίες η βελόνα πέφτει πάνω σε παράλληλη. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθεί μια τέτοια εκτίμηση του π μεταξύ του 3.14 και του 3.15.

Σε δοκιμαστικό σωλήνα περιέχονται n= 5.4·10²² μόρια αερίου. Σε κάποια στιγμή χωρίζουμε με διάφραγμα τον χώρο δοκιμαστικού σωλήνα σε δύο τμήματα ίσου όγκου. Θεωρώντας ότι κάθε μόριο με ίση πιθανότητα p=q=, μπορεί να βρεθεί σε κάποια από τα δύο τμήματα, βρείτε την πιθανότητα σε ένα τμήμα του σωλήνα να περιέχονται τουλάχιστον 10^-8 % (του n) περισσότερα μόρια απ’ ότι στο άλλο τμήμα.

Βρείτε τον αριθμό n ρίψεων νομίσματος που χρειάζονται, ώστε η παρατηρούμενη συχνότητα εμφάνισης «Γράμματα» να διαφέρει από την πιθανότητα λιγότερο, ή ίσο του 0.01 με πιθανότητα 0.99.