Λύση

Έστω x₀ = 1, αντικαθιστούμε στις εξισώσεις που ορίζουν την ευθεία και βρίσκουμε y₀ = 2, z₀ = 1. Το διάνυσμα $\vec{n}_{1}^{}$ = (3, 2, 4) είναι κάθετο στο επίπεδο 3x + 2y + 4z - 11 = 0 και το διάνυσμα $\vec{n}_{2}^{}$ = (2, 1, - 3) είναι κάθετο στο επίπεδο 2x + y - 3z - 1 = 0. Η ευθεία ($\epsilon$) ως κοινή ευθεία των δύο επιπέδων είναι κάθετη και στα δύο διανύσματα $\vec{n}_{1}^{}$, $\vec{n}_{2}^{}$, και άρα παράλληλη στο διάνυσμα

$$\vec{n}_{1}^{}$$ x $$\vec{n}_{2}^{}$$ = $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{ccc} \vec{x}_0 & \vec{y}_0 & \vec{z}_0 \\ 3&2&4\\ 2&1&-3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} \vec{x}_0 & \vec{y}_0 & \vec{z}_0 \\ 3&2&4\\ 2&1&-3\end{array}$$ $$\left.\vphantom{\begin{array}{ccc} \vec{x}_0 & \vec{y}_0 & \vec{z}_0 \\ 3&2&4\\ 2&1&-3\end{array}}\right\vert$$ = (- 10, 17, - 1).

Διαλέγουμε ($\alpha$,$\beta$,$\gamma$) = (- 10, 17, - 1), οπότε

$${x-1\over -10}$$ = $${y-2\over 17}$$ = $${z-1\over-1}$$.