Λύση

Έστω ($\xi$,$\eta$) τυχαίο σημείο της ευθείας ($\epsilon$). Ηπολική ευθεία του σημείου αυτού ως προς την (C) είναι

($$\pi$$) :         $$\xi$$x + $$\eta$$y - 1 = 0.

Τα σημεία τομής της πολικής με την (C) είναι τα ακρα της χορδής. Λύνουμε το σύστημα των (C), ($\pi$) και βρίσκουμε

($$\xi^{2}_{}$$ + $$\eta^{2}_{}$$)x² - 2$$\xi$$x + 1 - $$\eta^{2}_{}$$ = 0.

Αν x₁, x₂ είναι η ρίζες αυτής της εξίσωσης, τοτε η x-συντεταγμένη του μέσου της χορδής είναι x₀ = (x₁ + x₂)/2. Έχουμε λοιπόν

x₀ = $${\xi\over \xi^2+\eta^2}$$,        y₀ = $${\eta\over \xi^2+\eta^2}$$.

Λύνουμε ως προς $\xi$, $\eta$

$$\xi$$ = $${x_0\over x_0^2+y_0^2}$$,        $$\eta$$ = $${y_0\over x_0^2+y_0^2}$$.

Επειδή το σημείο $\xi$,$\eta$) ανήκει στην ($\epsilon$) αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ευθείας και παίρνουμε

3$${x_0\over x_0^2+y_0^2}$$ + 4$${y_0\over x_0^2+y_0^2}$$ + 6 = 0