Λύση

Έστω x² + y² + Ax + By + C = 0 μια των περιφερειών ($\Pi$) που ενδιαφέρουν. Τα κοινα σημεία αυτής με την (K) βρίσκονται πάνω στην ευθεία ($\epsilon$)

(x² + y² + Ax + By + C) - (x² + y² - R²) = Ax + By + C + R² = 0.

Η ευθεία ($\epsilon$) επειδή τέμνει την (K) στα άκρα διαμέτρου διέρχεται από το κέντρο του (K) που είναι η αρχή των αξόνων O(0, 0). Άρα έχουμε

A0 + B0 + C + R² = 0        $$\leadsto$$        C = - R².

Οι περιφέρειες ($\Pi$) διέρχονται από το σημείο P($\alpha$,$\beta$), συνεπώς

$$\alpha^{2}_{}$$ + $$\beta^{2}_{}$$ + A$$\alpha$$ + B$$\beta$$ - R² = 0.

Αν (x₀, y₀) οι συντεταγμένες των κέντρων των ($\Pi$), τότε A = - 2x₀ και B = - 2y₀. Αντικαθιστούμε στην παραπάνω και βρίσκουμε ότι τα κέντρα των ($\Pi$) ικανοποιούν την εξίσωση

$$\alpha^{2}_{}$$ + $$\beta^{2}_{}$$ - 2x₀$$\alpha$$ - 2y₀$$\beta$$ - R² = 0

Συνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία

2$$\alpha$$x + 2$$\beta$$y = $$\alpha^{2}_{}$$ + $$\beta^{2}_{}$$ - R².