Λύση

Έχουμε

$$\left(\vphantom{\begin{array}{cc} \lambda & 7 \\ 1 & -2\lambda \\ \lambda-1 & 1 \end{array}}\right. \begin{array}{cc} \lambda & 7 \\ 1 & -2\lambda \\ \lambda-1 & 1 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cc} \lambda & 7 \\ 1 & -2\lambda \\ \lambda-1 & 1 \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{ccc} \lambda & 7 & -2 \\ 1 & -2\lambda & 3 \\ \lambda-1 & 1 &-1 \end{array}}\right. \begin{array}{ccc} \lambda & 7 & -2 \\ 1 & -2\lambda & 3 \\ \lambda-1 & 1 &-1 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} \lambda & 7 & -2 \\ 1 & -2\lambda & 3 \\ \lambda-1 & 1 &-1 \end{array}}\right)$$

Ο πίνακας D έχει τάξη r(D) = 2 για όλα τα $\lambda$ $\in$ $\mathbb {R}$. Ο λογος είναι π.χ. ότι η άνω υποορίζουσα είναι -2$\lambda^{2}_{}$ - 7 και συνεπώς δεν μηδενίζεται γιά κανένα πραγματικό $\lambda$.

Η ορίζουσα του E είναι -2($\lambda^{2}_{}$ - 11$\lambda$ + 8) που μηδενίζεται στίς τιμές $\lambda_{1,2}^{}$ = ${\frac{11\pm\sqrt{89}}{2}}$. Συνεπώς γιά $\lambda$ $\neq$ $\lambda_{1,2}^{}$ οι τρείς ευθείες είναι σε γενική θεση, δηλ. σχηματίζουν ένα τρίπλευρο. Για $\lambda$ = 7/6 η πρώτη και η τρίτη είναι παράλληλες. Γιά $\lambda$ = $\lambda_{1,2}^{}$ έχουμε r(E) = 2 και οι τρείς ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο.