Λύση

Το (E) ανήκει στην δέσμη με άξονα την ευθεία ($\epsilon_{2}^{}$), άρα έχει εξίσωση της μορφής

$$\mu$$(3x + 2y + 5z + 6) + $$\lambda$$(x + 4y + 3z + 4) = 0

συνεπώς

(3$$\mu$$ + $$\lambda$$)x + (2$$\mu$$ + 4$$\lambda$$)y + (5$$\mu$$ + 3$$\lambda$$)z + (6$$\mu$$ + 4$$\lambda$$) = 0

Το διάνυσμα $\vec{n}\,$ = (3$\mu$ + $\lambda$, 2$\mu$ + 4$\lambda$, 5$\mu$ + 3$\lambda$) είναι κάθετο στο ζητούμενο επίπεδο και άρα κάθετο προς το διάνυσμα $\vec{a}\,$ = (3, 2, - 3), που είναι παράλληλο προς την ευθεία ($\epsilon_{2}^{}$).

Έχουμε λοιπόν

$$\vec{n}\,$$ ^. $$\vec{a}\,$$ = 0     $$\Rightarrow$$     3(3$$\mu$$ + $$\lambda$$) + 2(5$$\mu$$ + 3$$\lambda$$) - 3(6$$\mu$$ + 4$$\lambda$$) = 0

από όπου παίρνουμε $\mu$ = $\lambda$ και συνεπώς

(E) :         2x + 3y + 4z + 5 = 0.