Next: Ασκήσεις
Up: Συνέχεια συναρτήσεων
Previous: Συνέχεια συναρτήσεων
Ορισμός 37
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R, \; D \subset \mathbb R$](img419.gif)
και
![$x_0 \in D$](img420.gif)
.
Η
![$f $](img421.gif)
λέγεται συνεχής στο
![$x_0,$](img348.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$\vert x - x_0\vert < \delta $](img422.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - f(x_0)\vert
< \varepsilon.$](img423.gif)
Θεώρημα 38
Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο και η σύνθεση
συνεχών συναρτήσεων, (στο πεδίο ορισμού όπου αυτές ορίζονται), είναι συνεχείς
συναρτήσεις.
Θεώρημα 39 (Heine)
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
και
![$x_0 \in D$](img420.gif)
.
Η
![$f $](img421.gif)
είναι συνεχής στο
![$x_0$](img338.gif)
αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία
![$(x_n),\;
x_n \in D$](img424.gif)
με
![$x_n \to x$](img425.gif)
η ακολουθία
![$f(x_n)$](img426.gif)
συγκλίνει στο
![$f(x_0)$](img427.gif)
.
Ορισμός 41
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
και
![$x_0 \in D$](img420.gif)
.
Η
![$f $](img421.gif)
λέγεται συνεχής από τα δεξιά στο
![$x_0$](img338.gif)
,
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$0 \leq x - x_0 < \delta $](img430.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - f(x_0)\vert
< \varepsilon.$](img423.gif)
Ορισμός 42
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
και
![$x_0 \in D$](img420.gif)
.
Η
![$f $](img421.gif)
λέγεται συνεχής από τα αριστερά στο
![$x_0,$](img348.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$0 \leq x_0 - x < \delta$](img431.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - f(x_0)\vert
< \varepsilon.$](img423.gif)
Θεώρημα 43
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
και
![$x_0 \in D$](img420.gif)
.
Η
![$f $](img421.gif)
είναι συνεχής στο
![$x_0$](img338.gif)
,
αν και μόνον αν είναι συνεχής από δεξιά και από αριστερά
στο
![$x_0$](img338.gif)
.
Θεώρημα 44
'Εστω
![$f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$](img432.gif)
συνεχής συνάρτηση. Τότε
(i) H
είναι φραγμένη στο διάστημα
.
(ii) Υπάρχει
τέτοιο ώστε
'Ολες οι προ"υποθέσεις του θεωρήματος είναι απαραίτητες.
Πόρισμα 45
'Εστω
![$f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$](img432.gif)
συνεχής συνάρτηση. Τότε
υπάρχει
![$x_1 \in [a,b]$](img436.gif)
τέτοιο ώστε
Θεώρημα 46 (Ενδιάμεσης τιμής)
'Εστω
![$f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$](img432.gif)
συνεχής
συνάρτηση με
![$f(a) < f(b)$](img438.gif)
και
![$c\in (f(a), f(b))$](img439.gif)
.
Τότε υπάρχει
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
τέτοιο ώστε
![$f(x_0) = c$](img441.gif)
.
Ανάλογο συμπέρασμα ισχύει και για
Θεώρημα 47 (Bolzano - Weierstrass)
'Εστω
![$f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$](img432.gif)
συνεχής συνάρτηση με
![$f(a) f(b) < 0.$](img443.gif)
Τότε υπάρχει
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
τέτοιο ώστε
![$f(x_0) = 0$](img444.gif)
.
Παρατήρηση. Τα Θεωρήματα ενδιάμεσης τιμής και Bolzano - Weierstrass
είναι ισοδύναμα.
Antonis Tsolomitis
1999-11-11