Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 48   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R, \; D \subset \mathbb R$. Λέμε ότι η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $D,$ αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x, y \in D$ με $\vert x - y\vert < \delta$ να έχουμε $\vert f(x) - f(y)\vert < \varepsilon.$

Πρόταση 49   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R, \; D \subset \mathbb R$. Αν η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $D$ τότε είναι και συνεχής στο $D$. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

Πρόταση 50   Αν μια συνάρτηση $f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$ είναι συνεχής στο $[a,b]$ τότε είναι και ομοιόμορφα συνεχής στο $[a,b].$

Πρόταση 51   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R, \; D \subset \mathbb R$. Η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $D$, αν και μόνο αν για κάθε δύο ακολουθίες $x_n$ και $y_n$ του $D$ με $\lim\limits_{n\to \infty}(x_n -y_n) = 0$ έχουμε $\lim\limits_{n\to \infty}[f(x_n) -f(y_n)] = 0.$