Λύση

Αν $a = b$ τότε η ανισότητα είναι φανερή. Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι $a \not = b$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a < b$ (γιατί;). Θεωρούμε τη συνάρτηση $f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$ με $f(x) = \sin x$. Η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$. Από το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε ότι υπάρχει $\xi \in (a,b),$ τέτοιο ώστε

$$\frac{f(a) - f(b)}{a-b} = f'(\xi) \Rightarrow \frac{\sin a - \sin b}{a-b} = \cos \xi$$

και άρα

$$\Bigm \arrowvert \frac{\sin a - \sin b}{a-b}\Bigm \arrowvert = \vert\cos \xi\vert \leq 1.$$

Από εδώ προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.

'Ασκηση 14 Υπόδειξη