next up previous
Next: 'Ασκηση 16 Up: 'Ασκηση 15 Previous: Υπόδειξη


Λύση

'Εστω $x, y$ οι διαστάσεις του ορθογωνίου με εμβαδόν $Ε$. Τότε ισχύει $Ε = xy$. Αν $Π$ η περίμετρος του ορθογωνίου, έχουμε $Π = 2(x+y) = 2(x+ \frac{E}{x})$. Θεωρούμε τη συνάρτηση

\begin{displaymath}f(x) = 2(x+ \frac{E}{x}), \;\; x >0.\end{displaymath}

Επειδή $f'(x) = 2(1- \frac{E}{x^2}), \;\; x >0,$ έχουμε

\begin{displaymath}f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{E}{x^2} \leq 1 \Leftrightarrow x \geq \sqrt E, \; \; \;
(x > 0, \; E > 0).\end{displaymath}

Οπότε η $f $ είναι αύξουσα στο $[\sqrt E, +\infty),$ φθίνουσα στο $(0, \sqrt E]$ και άρα στο

\begin{displaymath}x = \sqrt E, \qquad y = \frac{\sqrt E}{x} = \sqrt E\end{displaymath}

έχει ολικό ελάχιστο. Δηλαδή το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

'Ασκηση 15 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11