Λύση

'Εστω $x, y$ οι διαστάσεις του ορθογωνίου με εμβαδόν $Ε$. Τότε ισχύει $Ε = xy$. Αν $Π$ η περίμετρος του ορθογωνίου, έχουμε $Π = 2(x+y) = 2(x+ \frac{E}{x})$. Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$f(x) = 2(x+ \frac{E}{x}), \;\; x >0.$$

Επειδή $f'(x) = 2(1- \frac{E}{x^2}), \;\; x >0,$ έχουμε

$$f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{E}{x^2} \leq 1 \Leftrightarrow x \geq \sqrt E, \; \; \; (x > 0, \; E > 0).$$

Οπότε η $f$ είναι αύξουσα στο $[\sqrt E, +\infty),$ φθίνουσα στο $(0, \sqrt E]$ και άρα στο

$$x = \sqrt E, \qquad y = \frac{\sqrt E}{x} = \sqrt E$$

έχει ολικό ελάχιστο. Δηλαδή το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

'Ασκηση 15 Υπόδειξη