Λύση

Παραγωγίζοντας έχουμε

$$f'(x) = 2(x - a) + 2(x - b) + 2x = 2(3x - a - b).$$

Για $x \geq \frac{a+b}{3}$ είναι $f'(x) \geq 0$ και άρα στο διάστημα $[\frac{a+b}{3}, +\infty)$ η συνάρτηση είναι αύξουσα ενώ για $x \leq \frac{a+b}{3}$ είναι $f'(x) \leq 0$ και άρα στο διάστημα $(-\infty, \frac{a+b}{3}]$ η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Οπότε στο σημείο $x = \frac{a+b}{3}$ η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο, ίσο με

$$f\left(\frac{a+b}{3}\right) = \frac{2} {3}\left(a^2 + b^2 - ab\right).$$

'Ασκηση 16 Υπόδειξη