Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 1   Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα μη κενό σύνολο $\mathbb R$ στο οποίο είναι ορισμένες δύο πράξεις $^.$ η πρόσθεση $+$ και ο πολλαπλασιασμός $\cdot$ και το οποίο ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

Αξίωμα 1 (Προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης) Αν $x, y, z \in \mathbb R$ τότε

$$x + (y +z) = (x + y) + z.$$

Αξίωμα 2 ('Υπαρξη ουδετέρου ως προς την πρόσθεση) 'Υπάρχει ένα στοιχείο του $\mathbb R$ που συμβολίζεται με $0,$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in \mathbb R$ να έχουμε

$$x +0 = x.$$

Αξίωμα 3 ('Υπαρξη αντιθέτου) Για κάθε $x \in \mathbb R$ υπάρχει ένα στοιχείο του $\mathbb R$ που συμβολίζεται με $-x$ και λέγεται αντίθετο του $x$ τέτοιο ώστε

$$x + (-x) = 0.$$

Αξίωμα 4 (Αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης) Για κάθε $x, y \in \mathbb R$ έχουμε

$$x + y = y + x.$$

Αξίωμα 5 (Προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού) Αν $x, y, z \in \mathbb R$ τότε

$$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z.$$

Αξίωμα 6 ('Υπαρξη ουδετέρου ως προς τον πολλαπλασιασμό) 'Υπάρχει ένα στοιχείο του $\mathbb R$ που συμβολίζεται με $1$, διαφορετικό από το $0,$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in \mathbb R$ να έχουμε

$$x \cdot 1 = x.$$

Αξίωμα 7 ('Υπαρξη αντιστρόφου) Για κάθε $x \in \mathbb R$ με $x \not=0,$ υπάρχει ένα στοιχείο του $\mathbb R$ που συμβολίζεται με $x^{-1}$ και λέγεται αντίστροφο του $x,$ τέτοιο ώστε να έχουμε

$$x \cdot x^{-1} = 1.$$

Αξίωμα 8 (Αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού) Για κάθε $x, y \in \mathbb R$ έχουμε

$$x \cdot y = y \cdot x.$$

Αξίωμα 9 (Επιμεριστικότητα της πρόσθεσης ως προς τον πολλαπλασιασμό) Για κάθε $x, y, z \in \mathbb R$ έχουμε

$$x \cdot (y +z) = x \cdot y + x\cdot z.$$

Αξίωμα 10 (Νόμος της τριχοτομίας) Υπάρχει ένα υποσύνολο $P$ του $\mathbb R$, που λέγεται σύνολο των θετικών στοιχείων του $\mathbb R,$ τέτοιο ώστε:

(i) Αν $x \in \mathbb R$ τότε ακριβώς μία από τις ακόλουθες τρείς σχέσεις είναι αληθής: $x \in P$, $-x \in P$ ή $x = 0$.

(ii) Αν $x, y \in P$, τότε $x \cdot y \in P$ και $x +y \in P.$

Αξίωμα 11 (Αξίωμα πληρότητας) Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο $D$, $D \subset \mathbb R$ έχει άνω πέρας, δηλαδή ελάχιστο άνω φράγμα που συμβολίζεται με $\sup D$.

Παρατήρηση. Με τη βοήθεια αυτών των αξιωμάτων προκύπτουν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Θεώρημα 2   Κάθε μη κενό και κάτω φραγμένο σύνολο $D$, $D \subset \mathbb R$ έχει κάτω πέρας, δηλαδή μέγιστο κάτω φράγμα που συμβολίζεται με $\inf D$.

Ορισμός 3   Αν ένα μη κενό σύνολο $D \subset \mathbb R$ δεν είναι άνω φραγμένο ορίζουμε $\sup D = +\infty$. Αν το $D$ δεν είναι κάτω φραγμένο ορίζουμε $\inf D = -\infty.$

Πρόταση 4 (Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών)   Αν $\varepsilon >0$ και $a \in \mathbb R$ τότε υπάρχει φυσικός $n$ τέτοιος ώστε $n \varepsilon >a$.

Πρόταση 5 (Ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού)   Για κάθε $x \in \mathbb R$ υπάρχει ακριβώς ένας ακέραιος $n$ που συμβολίζεται με $[x]$, τέτοιος ώστε $n \leq x < n+1.$ Δηλαδή $[x] \leq x < [x] + 1.$

Πρόταση 6 (Πυκνότητα ρητών - αρρήτων)   Για κάθε $x, y \in \mathbb R$ με $x< y$ υπάρχει ρητός $q$ και άρρητος $p$, τέτοιοι ώστε:

$$x < q < y \;\;\; \hbox{και} \;\;\; x < p < y.$$