Λύση

Θεωρούμε την συνάρτηση

$$f(\theta) = \frac {(\cos \theta)^p} {\cos(p\theta)},\; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\; 0 < p < 1,$$

(η οποία είναι καλώς ορισμένη). Επειδή $\cos \theta > 0,$ έχουμε

$$\begin{eqnarray*} f'(\theta) &= & \frac{p (\cos \theta)^{p-1}}{\cos^2(p\theta)}[... ...ac{p (\cos \theta)^{p-1}}{\cos^2(p\theta)} \sin[(p-1)\theta] < 0 \end{eqnarray*}$$

για $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ και $0 < p < 1$ αφού $\sin[(p-1)\theta] < 0$. Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η $f(\theta)$ είναι φθίνουσα και άρα

$$f(\theta) \leq f(0) =1.$$

Από τη σχέση αυτή προκύπτει η ζητούμενη σχέση άμεσα.

'Ασκηση 20 Υπόδειξη