Next: Ασκήσεις
Up: Ακολουθίες πραγματικών αριθμών
Previous: Ακολουθίες πραγματικών αριθμών
Ορισμός 7
Ονομάζουμε ακολουθία πραγματικών αριθμών μια συνάρτηση
![$a : \mathbb N \rightarrow \mathbb R$](img148.gif)
.
Γράφουμε
![$a(n) = a_n, \; n\in \mathbb N$](img149.gif)
.
Ορισμός 8
Λέμε ότι η ακολουθία
![$a_n,\; n\in \mathbb N,$](img150.gif)
συγκλίνει στο
![$a \in \mathbb R$](img40.gif)
,
αν για
κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$n_0 \in \mathbb N$](img151.gif)
ώστε να έχουμε
![$\vert a_n - a\vert
< \varepsilon$](img152.gif)
για κάθε
![$n \geq n_0$](img153.gif)
.
Γράφουμε
![$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a,$](img154.gif)
ή
![$a_n \to a, \; n \to \infty$](img155.gif)
.
Αν μια ακολουθία δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό λέμε
ότι αποκλίνει.
Ορισμός 9
Λέμε ότι η ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
συγκλίνει στο
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
,
αν για κάθε
![$M\in\mathbb R$](img158.gif)
υπάρχει
![$n_0 \in \mathbb N$](img151.gif)
τέτοιο ώστε να έχουμε
![$a_n > Μ \;(a_n < M),$](img159.gif)
για κάθε
![$n \geq n_0$](img153.gif)
.
Γράφουμε
![$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty \; (-\infty)$](img160.gif)
ή
![$a_n \to +\infty, \;
(-\infty) \; n \to \infty$](img161.gif)
.
Ορισμός 10
Λέμε ότι η ακολουθία
![$a_n, \, n\in \mathbb N,$](img162.gif)
είναι άνω φραγμένη, κάτω φραγμένη,
φραγμένη, αν το σύνολο
![$\{a_n, \; n \in \mathbb N \}$](img163.gif)
είναι άνω φραγμένο, κάτω φραγμένο,
φραγμένο, αντίστοιχα.
Παρατήρηση. Η χρησιμότητα πολλών από τις προηγούμενες ιδιότητες
βρίσκεται στην εύρεση ορίων χωρίς τον ορισμό, ανάγοντάς τα σε στοιχειώδη.
Ορισμός 12
'Εστω δύο ακολουθίες
![$a_n$](img156.gif)
και
![$b_n $](img179.gif)
.
Λέμε ότι η
![$b_n $](img179.gif)
είναι
υπακολουθία της
![$a_n$](img156.gif)
αν υπάρχει μια γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών
![$k_n$](img183.gif)
τέτοια ώστε
![$a_{k_n} = b_n$](img184.gif)
.
Ορισμός 13
Αν μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
συγκλίνει (ή συγκλίνει στο
![$+ \infty$](img185.gif)
ή στο
![$-\infty$](img186.gif)
)
τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο ίδιο όριο.
Ορισμός 14
Μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
λέγεται αύξουσα (φθίνουσα) αν
Ορισμός 15
Μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
λέγεται γνήσια αύξουσα (γνήσια φθίνουσα) αν
![$a_{n+1} > a_n,
\; ( a_{n+1} < a_n), \; \forall n \in \mathbb N$](img188.gif)
.
Ορισμός 16
Μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
λέγεται μονότονη (γνήσια μονότονη) αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα
(γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα).
Θεώρημα 17
Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει.
Θεώρημα 18
Κάθε μονότονη και μη φραγμένη ακολουθία συγκλίνει
στο
![$+ \infty$](img185.gif)
ή στο
![$-\infty$](img186.gif)
ανάλογα αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα.
Θεώρημα 19 (Bolzano - Weierstrass)
Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.
Ορισμός 20
Μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
λέγεται ακολουθία Caychy αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$n_0 \in \mathbb N$](img151.gif)
τέτοιος ώστε, να έχουμε
![$\vert a_n - a_m\vert < \varepsilon$](img189.gif)
για κάθε
![$n, m \geq n_0.$](img190.gif)
Θεώρημα 21
Μια ακολουθία
![$a_n$](img156.gif)
συγκλίνει αν και μόνον αν είναι
ακολουθία Cauchy.
Πρόταση 22
'Εστω η ακολουθία
![$a_n = a^n,\; n \in \mathbb N, \;a \in \mathbb R.$](img191.gif)
Τότε
Αν
![$a\leq -1$](img193.gif)
τότε η ακολουθία αποκλίνει.
Πρόταση 24
'Εστω η ακολουθία
![$a_n = \sqrt [n] a, \; a > 0.$](img195.gif)
Τότε
Πρόταση 25
'Εστω η ακολουθία
![$a_n, \; a_n > 0$](img197.gif)
με
![$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a > 0$](img198.gif)
.
Για
![$k \in \mathbb N$](img199.gif)
έχουμε
Πρόταση 26
όπου
![$e$](img202.gif)
είναι ο αριθμός του Euler,
![$e = 2.714 \ldots$](img203.gif)
.
Next: Ασκήσεις
Up: Ακολουθίες πραγματικών αριθμών
Previous: Ακολουθίες πραγματικών αριθμών
Antonis Tsolomitis
1999-11-11