Λύση

Από τον τύπο του Taylor έχουμε ότι

$$f(x) = f(x_0) + {f'(x_0)\over 1!}(x - x_0) + {f''(\xi)\over 2!}(x - x_0)^2$$

για $x, x_0 \in \mathbb R$ και $\xi$ μεταξύ των $x$ και $x_0$. Θέτοντας $h = x - x_0$ και επειδή $\vert f''(x)\vert \leq M$, έχουμε

$$\begin{eqnarray*}f(x_0 + h) & = & f(x_0) + {f'(x_0)\over 1!}h + {f''(\xi)\over 2!} h^2 \\ &\leq & f(x_0) + f'(x_0) h + {Μ\over 2} h^2. \end{eqnarray*}$$

Λόγω της σχέσης $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb R,$ το τριώνυμο $f(x_0) + f'(x_0) h + {Μ\over 2} h^2$ πρέπει να είναι θετικό για κάθε $h \in \mathbb R$ και άρα η διακρίνουσά του να είναι αρνητική. Δηλαδή

$$(f'(x_0))^2 - 2Μf(x_0) < 0 \Rightarrow \vert f'(x_0)\vert \leq \sqrt {2Mf(x_0)}.$$

Επειδή το $x_0$ είναι τυχαίο σημείο του $\mathbb R$ έχουμε τη ζητούμενη σχέση.

'Ασκηση 30 Υπόδειξη