Λύση

'Εχουμε ότι

$$\begin{eqnarray*} 1 \leq a_n &=& \sqrt[n] {n^2 + 2n + 2} \leq \sqrt [n] {(n+1)^2... ...+n)^2 +n^2} = \sqrt [n] {5n^2} = \sqrt [n] {5} \sqrt [n] {n^2}. \end{eqnarray*}$$

Επειδή

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [n] n = 1$$

και

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [n] a = 1,\; a>0,$$

έχουμε και ότι

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt [n] {5} \sqrt [n] {n^2} = 1.$$

Οπότε από τις ιδιότητες των ορίων των ακολουθιών έχουμε

$$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 1.$$

'Ασκηση 9 Υπόδειξη