Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι η $a_n$ δεν είναι ακολουθία Cauchy. Eλέγχουμε τη διαφορά $\vert a_{2n} - a_n\vert$. Έχουμε

$$\vert a_{2n} - a_n\vert = \vert \frac{1}{n+1} +\ldots + \frac{1}{2n}\vert \geq \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}.$$

Από την ανισότητα αυτή προκύπτει ότι η $a_n$ δεν είναι Cauchy και άρα σύμφωνα με γνωστό θεώρημα δεν συγκλίνει.

Παρατήρηση. Από τη σχέση $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}$ έχουμε ότι η ακολουθία μας είναι αύξουσα. Επειδή όπως είδαμε, δεν συγκλίνει συμπεραίνουμε ότι δεν είναι φραγμένη (αν ήταν θα έπρεπε να συγκλίνει - σύμφωνα με γνωστό θεώρημα) και άρα συγκλίνει στο $+ \infty$, (γιατί;).

'Ασκηση 13 Υπόδειξη