Λύση

1ος τρόπος. Παρατηρούμε ότι

$$\begin{eqnarray*} 0 < a_n &=& \frac{n!}{n^n} = \frac{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot ... ...\frac{n-1}{n} \frac{n}{n} < \frac{1}{n}\to 0, \; n \to +\infty. \end{eqnarray*}$$

'Αρα η ακολουθία είναι μηδενική.

2ος τρόπος. Παρατηρούμε ότι $$\frac{a_n}{a_{n+1}} = (1 + \frac{1}{n})^n > 1.$$ Οπότε η ακολουθία είναι φθίνουσα και θετικών όρων, οπότε συγκλίνει έστω στο $l\in \mathbb R.$ Από τη σχέση $a_n = a_{n+1}(1 + \frac{1}{n})^n$ παίρνοντας όρια έχουμε $l = le$ και άρα $l=0$.

'Ασκηση 15 Υπόδειξη