Λύση

Θεωρούμε την ακολουθία $b_n = {\left(1 + {1\over n}\right )}^{n}.$ Η ακολουθία $k_n = 2n!, \; n\in \mathbb N,$ είναι μια γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και ισχύει $a_n = \sqrt {b_{k_n}}$. Επειδή $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = e$ και η $b_{k_n}$ είναι υπακολουθία αυτής έχουμε ότι $\lim\limits_{n \to \infty}b_{k_n} = e.$ 'Αρα σύμφωνα με γνωστή πρόταση

$$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \sqrt e.$$

'Ασκηση 16 Υπόδειξη