Next: Ασκήσεις
Up: Όρια συναρτήσεων
Previous: Όρια συναρτήσεων
Ορισμός 27
'Εστω
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0 \in \mathbb R.$](img337.gif)
Το
![$x_0$](img338.gif)
λέγεται σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
έχουμε
![$\left((x_0 - \varepsilon, x_0 +\varepsilon) - \{x_0\}
\right) \cap D \not = \emptyset $](img339.gif)
.
Ορισμός 28
'Εστω
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0 \in \mathbb R.$](img337.gif)
Το
![$x_0$](img338.gif)
λέγεται από δεξιά (αριστερά) σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
έχουμε
![$(x_0, x_0 +\varepsilon) \cap D \not = \emptyset $](img340.gif)
(
![$(x_0 - \varepsilon, x_0) \cap D \not = \emptyset $](img341.gif)
).
Ορισμός 29
'Εστω
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
.
Το
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
λέγεται σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
αν για κάθε
![$M>0$](img342.gif)
έχουμε
![$((-\infty, -M) \cap D \not = \emptyset)$](img344.gif)
.
Ορισμός 30
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
,
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0 \in \mathbb R $](img346.gif)
σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
.
Λέμε ότι το όριο της
![$f(x)$](img347.gif)
υπάρχει και είναι
![$a \in \mathbb R$](img40.gif)
,
όταν το
![$x$](img12.gif)
τείνει στο
![$x_0,$](img348.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$0 < \vert x - x_0\vert < \delta$](img351.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$](img352.gif)
Γράφουμε
Ορισμός 31
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
,
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0 \in \mathbb R $](img346.gif)
σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
.
Λέμε ότι το όριο της
![$f(x)$](img347.gif)
όταν
το
![$x$](img12.gif)
τείνει στο
![$x_0$](img338.gif)
υπάρχει και είναι
![$+\infty \; (-\infty),$](img354.gif)
αν για κάθε
![$Μ \in \mathbb R$](img355.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$0 < \vert x - x_0\vert < \delta$](img351.gif)
να έχουμε
![$f(x) > M \; (f(x) < M)$](img356.gif)
.
Γράφουμε
Ορισμός 32
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \; \mathbb R$](img358.gif)
,
![$D\subset \mathbb R.$](img359.gif)
Αν το
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
είναι σημείο συσσώρευσης του
![$D,$](img360.gif)
τότε λέμε ότι το όριο της
![$f(x)$](img347.gif)
όταν το
![$x$](img12.gif)
τείνει στο
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
υπάρχει και είναι
![$a \in \mathbb R$](img40.gif)
αν για
κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$Μ \in \mathbb R$](img355.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$x > M \, (x < M),$](img361.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$](img352.gif)
Γράφουμε
![$(\lim\limits_{x \to -\infty } f(x) = a)$](img363.gif)
.
Ορισμός 33
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
,
![$D\subset \mathbb R.$](img359.gif)
Αν το
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
είναι σημείο συσσώρευσης του
![$D,$](img360.gif)
τότε λέμε ότι το όριο της
![$f(x)$](img347.gif)
όταν το
![$x$](img12.gif)
τείνει στο
![$+ \infty \; (-\infty)$](img157.gif)
υπάρχει και είναι
![$+ \infty$](img185.gif)
αν για κάθε
![$Μ \in \mathbb R$](img355.gif)
υπάρχει
![$Μ'\in \mathbb R$](img364.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$x > M \; (x <M)$](img365.gif)
να έχουμε
![$f(x) > M'.$](img366.gif)
Γράφουμε
Ανάλογο ορισμό έχουμε και στην περίπτωση που το όριο είναι
.
Θεώρημα 34
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
και
![$x_0$](img338.gif)
σημείο
συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
.
Τότε
![$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$](img368.gif)
αν και μόνον άν για κάθε
ακολουθία
![$x_n, \, n\in \mathbb N,$](img369.gif)
στοιχείων του
![$D$](img33.gif)
με
![$x_n \not =x_0$](img370.gif)
για κάθε
![$n \in \mathbb N$](img76.gif)
και
![$\lim\limits_{n \to +\infty }x_n = x_0$](img371.gif)
να έχουμε
![$\lim\limits_{n \to +\infty }
f(x_n) = a$](img372.gif)
.
Το θεώρημα ισχύει γενικά για
![$a, x_0 \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \}$](img373.gif)
και μας
επιτρέπει να έχουμε ιδιότητες αντίστοιχες των ορίων ακολουθιών στα όρια
συναρτήσεων.
Ορισμός 35
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
,
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0$](img338.gif)
σημείο συσσώρευσης του
![$D$](img33.gif)
από τα δεξιά. Λέμε ότι υπάρχει το όριο της
![$f(x)$](img347.gif)
όταν το
![$x$](img12.gif)
τείνει στο
![$x_0$](img338.gif)
από δεξιά και είναι
![$a \in \mathbb R$](img40.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img39.gif)
υπάρχει
![$\delta > 0 $](img349.gif)
τέτοιο ώστε για κάθε
![$x \in D$](img350.gif)
με
![$0 < x - x_0 <
\delta $](img374.gif)
να έχουμε
![$\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$](img352.gif)
Γράφουμε
Ανάλογο ορισμό έχουμε και για το όριο από αριστερά.
Θεώρημα 36
'Εστω συνάρτηση
![$f : D \rightarrow \mathbb R$](img345.gif)
,
![$D \subset \mathbb R$](img34.gif)
και
![$x_0$](img338.gif)
σημείο συσσώρευσης του
![$D.$](img376.gif)
Τότε
όπου
![$x_0, a \in \mathbb R \cup \{\pm\infty\}$](img378.gif)
και αν κάποιο όριο δεν
έχει νόημα το παραβλέπουμε.
Antonis Tsolomitis
1999-11-11