Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 27   'Εστω $D \subset \mathbb R$ και $x_0 \in \mathbb R.$ Το $x_0$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $D$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ έχουμε $\left((x_0 - \varepsilon, x_0 +\varepsilon) - \{x_0\} \right) \cap D \not = \emptyset$.

Ορισμός 28   'Εστω $D \subset \mathbb R$ και $x_0 \in \mathbb R.$ Το $x_0$ λέγεται από δεξιά (αριστερά) σημείο συσσώρευσης του $D$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ έχουμε $(x_0, x_0 +\varepsilon) \cap D \not = \emptyset$ ( $(x_0 - \varepsilon, x_0) \cap D \not = \emptyset$).

Ορισμός 29   'Εστω $D \subset \mathbb R$. Το $+ \infty \; (-\infty)$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $D$ αν για κάθε $M>0$ έχουμε $(M, +\infty) \cap D \not = \emptyset$ $((-\infty, -M) \cap D \not = \emptyset)$.

Ορισμός 30   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$, $D \subset \mathbb R$ και $x_0 \in \mathbb R$ σημείο συσσώρευσης του $D$. Λέμε ότι το όριο της $f(x)$ υπάρχει και είναι $a \in \mathbb R$, όταν το $x$ τείνει στο $x_0,$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in D$ με $0 < \vert x - x_0\vert < \delta$ να έχουμε $\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$ Γράφουμε

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a.$$

Ορισμός 31   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$, $D \subset \mathbb R$ και $x_0 \in \mathbb R$ σημείο συσσώρευσης του $D$. Λέμε ότι το όριο της $f(x)$ όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ υπάρχει και είναι $+\infty \; (-\infty),$ αν για κάθε $Μ \in \mathbb R$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in D$ με $0 < \vert x - x_0\vert < \delta$ να έχουμε $f(x) > M \; (f(x) < M)$. Γράφουμε

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty, \; (- \infty).$$

Ορισμός 32   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \; \mathbb R$, $D\subset \mathbb R.$ Αν το $+ \infty \; (-\infty)$ είναι σημείο συσσώρευσης του $D,$ τότε λέμε ότι το όριο της $f(x)$ όταν το $x$ τείνει στο $+ \infty \; (-\infty)$ υπάρχει και είναι $a \in \mathbb R$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $Μ \in \mathbb R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in D$ με $x > M \, (x < M),$ να έχουμε $\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$ Γράφουμε $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a$ $(\lim\limits_{x \to -\infty } f(x) = a)$.

Ορισμός 33   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$, $D\subset \mathbb R.$ Αν το $+ \infty \; (-\infty)$ είναι σημείο συσσώρευσης του $D,$ τότε λέμε ότι το όριο της $f(x)$ όταν το $x$ τείνει στο $+ \infty \; (-\infty)$ υπάρχει και είναι $+ \infty$ αν για κάθε $Μ \in \mathbb R$ υπάρχει $Μ'\in \mathbb R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in D$ με $x > M \; (x <M)$ να έχουμε $f(x) > M'.$ Γράφουμε

$$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty.$$

Ανάλογο ορισμό έχουμε και στην περίπτωση που το όριο είναι $-\infty$.

Θεώρημα 34   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$ και $x_0$ σημείο συσσώρευσης του $D$. Τότε $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ αν και μόνον άν για κάθε ακολουθία $x_n, \, n\in \mathbb N,$ στοιχείων του $D$ με $x_n \not =x_0$ για κάθε $n \in \mathbb N$ και $\lim\limits_{n \to +\infty }x_n = x_0$ να έχουμε $\lim\limits_{n \to +\infty } f(x_n) = a$. Το θεώρημα ισχύει γενικά για $a, x_0 \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \}$ και μας επιτρέπει να έχουμε ιδιότητες αντίστοιχες των ορίων ακολουθιών στα όρια συναρτήσεων.

Ορισμός 35   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$, $D \subset \mathbb R$ και $x_0$ σημείο συσσώρευσης του $D$ από τα δεξιά. Λέμε ότι υπάρχει το όριο της $f(x)$ όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ από δεξιά και είναι $a \in \mathbb R$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in D$ με $0 < x - x_0 < \delta$ να έχουμε $\vert f(x) - a \vert < \varepsilon.$ Γράφουμε

$$\lim\limits_{x \to x^+_0} f(x) = f(x_0^+) = a.$$

Ανάλογο ορισμό έχουμε και για το όριο από αριστερά.

Θεώρημα 36   'Εστω συνάρτηση $f : D \rightarrow \mathbb R$, $D \subset \mathbb R$ και $x_0$ σημείο συσσώρευσης του $D.$ Τότε

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x^+_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x^-_0} f(x) = a,$$

όπου $x_0, a \in \mathbb R \cup \{\pm\infty\}$ και αν κάποιο όριο δεν έχει νόημα το παραβλέπουμε.