Λύση

Για $x \not =0$ έχουμε

$${{x\sin x}\over {x^2 +3}} = \frac{ {\frac{ \sin x}{x}}}{1+\frac{3}{x^2}}.$$

Επειδή $\vert\frac{ \sin x}{x}\vert \leq \vert\frac{ 1}{x} \vert \to 0,\; x \to +\infty,$ έχουμε

$$\displaystyle \lim\limits _{x \to +\infty} \frac{ \sin x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2}=0$$

και άρα σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων των συναρτήσεων

$$\lim\limits_{x \to \infty} {{x\sin x}\over {x^2 +3}} = \lim\l... ...rac{ {\frac{ \sin x}{x}}}{1+\frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0.$$

'Ασκηση 1 Υπόδειξη