Έστω f μια διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό σύνολο U.

Το σημείο P τoυ U θα λέγεται κρίσιμο ή στατικό σημείο της f αν gradf(P) = 0.

To Ρ του U θα λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει μια μπάλλα Β μέσα στο U τ.ω. για καθε Χ στην Β

f(P) £ f(X).

Ομοίως το Ρ του U θα λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει μια μπάλλα Β μέσα στο U τ.ω. για καθε Χ στην Β

f(Χ) £ f(Ρ).

Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα σημεία της f θα λέγονται τοπικά ακρότατα της f.

Θεώρημα 1: Αν το Ρ είναι τοπικό ελάχιστο (ή μέγιστο) της f στο U τότε είναι και κρίσιμο σημείο της f.

Αν ένα κρίσιμο σημείο της f δεν είναι τοπικό ακρότατο αυτό θα λέγεται σαγματικό σημείο.

Όταν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση μιας μεταβλητής ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Ι = [α, β] τότε γνωρίζουμε ότι υπάρχουν Α, Β στο Ι με

f(A) £ f(X) £ f(B)

Έστω Γ υποσύνολο του Rⁿ.

To σημείο α του Rⁿ θα λέγεται συνοριακό σημείο του Γ αν κάθε μπάλλα με κέντρο το α τέμνει το Γ και το συμπλήρωμά του. Το σύνολο των συνοριακών σημείων του Γ λέγεται σύνορο του Γ.

Το σημείο γ του Γ θα λέγεται εσωτερικό σημείο του Γ αν υπάρχει μια μπάλλα Β με κέντρο το γ (και θετική βέβαια ακτίνα) η οποία περιέχεται στο Γ ( ΒΓ ). Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του Γ λέγεται εσωτερικό του Γ.

Το Γ θα λέγεται κλειστό αν περιέχει όλα τα συνοριακά του σημεία.

Παρατήρηση 1: Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ενα κλειστό σύνολο είναι η ένωση του εσωτερικού του και του συνόρου του.

Το Γ θα λέγεται φραγμένο αν υπάρχει ρ > 0 τ.ω. το Γ να είναι υποσύνολο της μπάλλας με κέντρο την αρχή και ακτίνα ρ.

Θεώρημα 2: Έστω Γ κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του Rⁿ και f : Γ ® R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχουν Α, Β στο Γ με

f(A) £ f(X) £ f(B)

Το Α θα λέγεται σημείο ελαχίστου και το Β σημείο μεγίστου για την f. Και τα δύο θα λέγονται ακρότατα της f.

Παρατήρηση 2: Τα προηγούμενα δύο θεωρήματα μας δίνουν μια μέθοδο εντοπισμού των σημείων μεγίστου και ελαχίστου μιας συνάρτησης. Αυτά τα σημεία ευρίσκονται είτε στο σύνορο του Γ είτε στο εσωτερικό του. (δείτε την Παρατήρηση 1) Εξετάζουμε λοιπόν ξεχωριστά την συνάρτηση στο σύνορο και στο εσωτερικό του συνόλου.

1. Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης f(x, y) = x-y στο τετράγωνο με γωνίες (± 1, ± 1).

    [Υπόδειξη] [Λύση]

2. Να υπολογίσετε τα κριτικά σημεία της συνάρτησης f(x, y) = cos(x²+y²). [Λύση]

3. (Ασκηση 18, σελίδα 277 του βιβλίου των Marsden – Tromba)

    Μια ακτίνα φωτός ταξιδεύει απο το σημείο Α στο σημείο Β διασχίζοντας το

    σύνορο ανάμεσα σε δύο υλικά. (να δείτε το σχήμα).

    Στο πρώτο υλικό η ταχύτητα είναι v₁και στο δεύτερο v₂.

   Δείξτε ότι το ταξίδι γίνεται στον ελάχιστο δυνατό χρόνο όταν ισχύει ο νόμος του Snell:

    [Λύση]

[Περιεχόμενα]