KΕΦΑΛΑΙΟ 15

 

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR

 

Έστω U ένα ανοικτό υποσύνολο στο R2, Ρ = (p1, p2) ένα σημείο του U και f μια συνάρτηση στο U. Έστω επίσης Η = (h, k)R2 . Θεωρούμε την συνάρτηση

Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε

Άρα

και για να απλοποιήσουμε τον συμβολισμό γράφουμε

Ομοίως μπορούμε να αποδείξουμε ότι αν r είναι ένας φυσικός

Για παράδειγμα

 

Θεώρημα (τύπος του Τaylor τάξης 3): Έστω U ένα ανοικτό υποσύνολο στο R2, Ρ = (p1, p2) ένα σημείο του U και f μια συνάρτηση στο U με συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι τάξης 3. Έστω επίσης Η = (h, k) ένα διάνυσμα τ.ω. το σημείο Ρ + tΗ να ευρίσκεται μέσα στο U για t στο [0, 1]. Τότε υπάρχει τ στο [0, 1] τ.ω.

με

Για την απόδειξη εφαρμόζουμε τον τύπο του Taylor στην συνάρτηση

και χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας.

 

Ασκήσεις

1. Έστω ότι η f είναι ομογενής βαθμού mΝ, δηλαδή f(0)=0 και

για κάθε Ρ στο R2. Nα δειχθεί ότι

[Υπόδειξη] [Λύση]

2. Να υπολογίσετε τον τύπο του Taylor τάξης 3 για την συνάρτηση

                                                f(x, y) = cosxy

στο σημείο (0, 0).[Λύση]

 

[Περιεχόμενα]