Ορισμός: Έστω Χ=(x₁, x₂, x₃ ) και Υ=(y₁, y₂, y₃) δύο διανύσματα στον R³. Το εξωτερικό τους γινόμενο ΧΥ είναι το διάνυσμα

Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το ΧΥ είναι κάθετο στα Χ, Υ. (για την διεύθυνση του ΧΥ συμβουλευθείτε το βιβλίο σας)

1. ΧΥ= -ΥΧ

2. Χ(Υ+Ζ) = ΧΥ+ ΧΖ, (Χ+Υ)Ζ = ΧΖ+ ΥΖ

3. (αΧ)Υ = α(ΧΥ) = Χ(αΥ) για κάθε πραγματικό α

4. (ΧΥ)Ζ = (Χ· Ζ)Υ- (Υ· Ζ)Χ

5. (ΧΥ)^ Χ και (ΧΥ)^ Υ

6. ½ ½ ΧΥ½ ½ = ½ ½ Χ½ ½ ½ ½ Y½ ½ ½ sinθ½ ( δηλαδή η ποσότητα ½ ½ ΧΥ½ ½ είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα Χ, Υ)

1. Να υπολογίσετε τα ΧΥ, ΥΧ και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα Χ, Υ, όταν Χ=(1, 1, 1) και Υ=(2, -2, 2). [Λύση]

2. Να δειχθεί ότι για κάθε Χ στον R³ έχουμε ΧΧ=0. [Λύση]

3. Είναι τα διανύσματα Χ(ΧΥ), (ΧΧ)Υ ίσα; Να αποδειχθεί ή να δοθεί αντιπαράδειγμα. [Λύση]

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία (1, -1, 1), (0, 0, 0) και (-2, 3, 0). [Λύση]

5. Έστω Α, Β δοθέντα (μη μηδενικά) κάθετα διανύσματα. Να επιλυθεί η εξίσωση [Λύση]

6. Να αποδειχθεί ότι ||ΑΒ||² = ||Α||² ||Β||² – (Α· Β)². [Λύση] [Επιστροφή στην άσκ.2 του κεφ. 10]

[Περιεχόμενα]