Ορισμός: Έστω Ι ένα διάστημα στο R. Mια παραμετρισμένη καμπύλη στον Rⁿ είναι μια συνάρτηση Χ: Ι® Rⁿ .

Το διάνυσμα Χ(t), tI, λέγεται διάνυσμα θέσης την χρονική στιγμή t. Mε την χρήση συντεταγμένων γράφεται ως εξής:

Χ(t) = ( x₁(t), ... , x_n(t) )

Mια καμπύλη Χ θα λέγεται παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη) αν οι συναρτήσεις x_i: Ι® R, i=1,...n, είναι παραγωγίσιμες. Για τα παρακάτω υποθέτουμε ότι η καμπύλη Χ είναι παραγωγίσιμη.

Το διάνυσμα ταχύτητας της καμπύλης Χ την χρονική στιγμή t είναι το

Παράδειγμα: Έστω Χ(t) = ( t, cost, e^t ). H X (σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό) είναι παραγωγίσιμη με διάνυσμα ταχύτητας

X'(t) = ( 1, -sint, e^t ).

Η ταχύτητα v(t) μιας καμπύλης Χ την χρονική στιγμή t είναι το μήκος του διανύσματος ταχύτητάς της, δηλαδή

v(t) = ½ ½ Χ'(t)½ ½ .

Το διάνυσμα επιτάχυνσης της καμπύλης Χ την χρονική στιγμή t είναι το

 Κανόνες παραγώγισης

1. (Χ(t)+Y(t))'=X'(t)+Y'(t)

2. (aX(t))'=aX'(t) για κάθε πραγματικό a.

3. (X(t)· Y(t))' = X'(t)· Y(t)+X(t)· Y'(t)

4. Αν f: R® R είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση τότε

    (f(t)X(t))'=f'(t)X(t)+f(t)X'(t).

Aσκήσεις

1. Έστω Ν ένα μη μηδενικό διάνυσμα, α ένας πραγματικός και Q ένα σημείο. Έστω R το σημείο τομής του επιπέδου Χ· Ν=α και της ευθείας που διέρχεται από το Q και έχει την διεύθυνση του Ν. Να δειχθεί ότι γιά όλα τα σημεία P του επιπέδου έχουμε ||Q-R|| £ ||Q-P||. [Υπόδειξη] [Λύση]

2. Nα αποδειχθεί ότι όταν η ταχύτητα μιας καμπύλης είναι σταθερή τότε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι κάθετα. [Λύση]

3. Nα αποδειχθεί ότι όταν το διάνυσμα της επιτάχυνσης μιας καμπύλης είναι κάθετο στο διάνυσμα της ταχύτητας τότε η ταχύτητα είναι σταθερή. [Λύση]

4. Έστω Α, Β μη μηδενικά διανύσματα και

Χ(t)=e^2tA+e^atB.

Για ποιές τιμές του a το διάνυσμα της επιτάχυνσης της καμπύλης Χ έχει την κατεύθυνση του Χ(t) για κάθε t; [Υπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]