(i)    Έστω γ = d(s) ένα σημείο στην εικόνα της d. Επειδή s [e(a), e(b)], υπάρχει μοναδικό t[a,b] τ.ω. s=e(t). Από τον ορισμό της d έχουμε ότι γ = d(s) = c(t), άρα

                        εικόνα της d εικόνας της c.

Για τον αντίστροφο εγκλεισμό, παρατηρούμε ότι αν πάρουμε ως αρχική την d και ως αύξουσα την e^-1, τότε η διαδικασία όπως περιγράφεται στην εκφώνηση της άσκησης μας δίνει την c. Σύμφωνα με τα παραπάνω

                        εικόνα της c εικόνας της d.

Άρα

                        εικόνα της d = εικόνα της c.

(ii)    Από το θεώρημα 2, σελ. 305 του Spivak έχουμε ότι

        (τύπος της αντικατάστασης).

        Αν θέσουμε f(t) = ||c'(t)|| και g(s) = e'(s) έχουμε

        μήκος της c =

                                                        =μήκος της d.

(iii)    Παραγωγίζουμε την σχέση c(t) = d(e(t)) και έχουμε

που δίνει ||d'(s)|| = ||d'(e(t))|| = 1.

[Επιστροφή]